（その４２）の補足をしておきたい．

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【１】オイラーの積分

　ベータ関数において，a=m/n,b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，

　　∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）

ｍ＝１とおくと，

　　∫(0,1)1/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（1/n）√π／nΓ（1/n+1/2）

Γ（1/2）＝√πより

　　∫(0,1)1/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（1/n）Γ（1/2）／nΓ（1/n+1/2）

Γ（1/n）Γ（1/2）／Γ（1/n+1/2）＝Ｂ（1/n,1/2）より

　　∫(0,1)1/(1-x^n)^(1/2)dx=Ｂ（1/n,1/2）／ｎ

　したがって，

　(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

　(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

が得られます．

　　∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

は初等的にも得ることができます．一方，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

は，特別な数と楕円積分を関係づけるものになっています．

　これらを，Γ^q（1/q）の形で統一的に表示すれば，

　　Γ^2（1/2）＝π＝２∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx

　　Γ^3（1/3）＝２^(4/3)３^(1/2)π∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx

　　Γ^4（1/4）＝２^5π（∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx）^2

　なお，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

を得るには，ガンマ関数の乗法公式（倍数公式）

　　Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)

と相反公式（相補公式）

　　Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ

また，

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

を得るには乗法公式を用いています．

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［１］ｎ＝１：Γ（1）√π／Γ（3/2）＝２

［２］ｎ＝２：Γ（1/2）√π／２Γ（1）＝π／２＝１．５７０８

［３］ｎ＝３：Γ（1/3）√π／３Γ（5/6）＝１．４０２１８

　乗法公式：Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)

　　ｘ＝１／３：Γ（1/6）Γ（2/3）＝π^(1/2)Γ（1/3）２^2/3

　　ｘ＝２／３：Γ（1/3）Γ（5/6）＝π^(1/2)Γ（2/3）２^1/3

　相反公式（相補公式）：Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ

　　ｘ＝１／６：Γ（1/6）Γ（5/6）＝２π

　　ｘ＝１／３：Γ（1/3）Γ（2/3）＝２π／√３

　　Γ（1/6）Γ（1/3）Γ（2/3）Γ（5/6）＝（２π）^2／√３

　　Γ（1/3）Γ（5/6）＝（２π）^2／√３／Γ（1/6）Γ（2/3）＝２^4/3π^3/2／３^1/2Γ（1/3）

　　Γ（5/6）＝（２π）^2／√３／Γ（1/6）Γ（2/3）＝２^4/3π^3/2／３^1/2Γ^2（1/3）

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

［４］ｎ＝４：Γ（1/4）√π／４Γ（3/4）＝１．３１１０３

　乗法公式：Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)

　　ｘ＝１／２：Γ（1/4）Γ（3/4）＝π^(1/2)Γ（1/2）２^1/2＝２π／√２

あるいは

　相反公式（相補公式）：Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ

　　ｘ＝１／４：Γ（1/4）Γ（3/4）＝２π／√２

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

［５］ｎ＝５：Γ（1/5）√π／５Γ（7/10）＝１．２５３７３

　　Γ（1/5）の形での表示は得られなかった．

［６］ｎ＝６：Γ（1/6）√π／６Γ（2/3）＝１．２１４３３

　　Γ（1/6）Γ（1/3）Γ（2/3）Γ（5/6）＝（２π）^2／√３

　　Γ（1/6）Γ（2/3）＝（２π）^2／√３／Γ（1/3）Γ（5/6）＝２^5/3π^3/2／３^1/2Γ（2/3）

　　Γ^2（2/3）＝（２π）^2／√３／Γ（1/3）Γ（5/6）＝２^5/3π^3/2／３^1/2Γ（1/6）

　　∫(0,1)1/(1-x^6)^(1/2)dx=Γ^3/2（1/6）／２^(11/6)３^(3/4)π^1/4

［７］ｎ→∞

　　∫(0,1)1/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（1/n）Γ（1/2）／nΓ（1/n+1/2）→Γ（1/n）／ｎ＝Γ（1+1/n）→Γ（1）＝１

この結果は図形的に考察すれば明らかである．

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