∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx
のような楕円積分は既に昔から深く研究されています．例えば，第１種楕円積分の標準形（ヤコビの形）
F(k,φ)=∫(0,φ)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2)
を使うと
∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ）
φ＝ａｒｃｃｏｓ（（√３－１＋ｘ）／（√３＋１－ｘ））
ｋ＝（√３＋１）／２√２
と表されます．
一松，数学公式Ⅰ，ｐ１４８，岩波
ただし，このままでは母数
ｋ＝（√３＋１）／２√２
が１に近くて扱いが不便かもしれません．むしろ，ワイエルシュトラスの標準形
∫(∞,0)du/(4u^2-g2u-g3)^(1/2)
の特別な場合として扱ったほうが容易かもしれません．
誰しも考える
∫1/(1-x^3)^(1/2)dx
は対称性に乏しく，却ってレムニスケート
∫1/(1-x^4)^(1/2)dx
のほうが扱いやすいようです．
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【１】楕円積分の標準形（その１）
楕円積分
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
sn^(-1)(x,k)=∫(0,x)f(x)dx
はヤコビの楕円関数の１種であるエスエヌ関数の逆関数である．関数sn,cn,dnがヤコビの楕円関数で
cnω=(1-sn^2ω)^1/2,dnω=(1-k^2sn^2ω)^1/2
また，
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
K(k)=∫(0,1)f(x)dx
を第１種完全楕円積分，
f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)
E(k)=∫(0,1)f(x)dx
を第２種完全楕円積分と呼ぶ．
第１種楕円積分は特に重要であるが，第１種楕円積分
K(k)=∫(0,1)1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)dx （ヤコビの標準形）
で，x=sinθと変換すると
K(k)=∫(0,π/2)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2) （ルジャンドルの標準形）
また，x=sin^2θ，λ=k^2とおけば
K(k)=∫(0,1)dz/{(z(1-z)(1-λz)}^(1/2) （リーマンの標準形）
が成立する．
これらの不定積分は初等関数では表せないが，たとえば，第１種完全楕円積分は
K(k)=π/2{1+(1/2k)^2+(3/8k^2)^2+(5/16k^3)^2+･･･}
とベキ級数展開できる．
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【２】楕円積分の標準形（その２）
F(k,x)=∫(0,x)1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)f(x)dx
E(k,x)=∫(0,x){(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)dx
π(k,x)=∫(0,x)1/(1+nx^2){(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)f(x)dx
をそれぞれ第１種，第２種，第３種の標準形という．
x=sinθと変換すると
F(k,θ)=∫(0,θ)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2)
E(k,θ)=∫(0,θ)(1-k^2sin^2θ)^(1/2)dθ
π(k,θ)=∫dθ/(1+nsin^2θ)(1-k^2sin^2θ)^(1/2)
となる．
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レムニスケート（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ａ^2（ｘ^2－ｙ^2）の表わし方として
ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2ｃｏｓ^2φ，ｘ^2－ｙ^2＝ａ^2ｃｏｓ^4φ
を用いれば，
ｘ^2＝ａ^2ｃｏｓ^2φ（１－ｓｉｎ^2φ／２）
ｙ^2＝ａ^2ｃｏｓ^2φｓｉｎ^2φ／２
ここで，（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2を計算すれば，ｋ＝１／√２の第１種楕円積分
ｄｓ＝ａ／√２・ｄφ／（１－ｓｉｎ^2φ／２）＝ａ／√２Ｆ（１／√２，φ）
を得ることができる．したがって，レムニスケートの全長は
ｓ＝４ａ／√２Ｋ（１／√２）
また，セレー（微分幾何のフレネー・セレーの公式で有名）にしたがって
ｘ＝ａ（ｚ＋ｚ^3）／（１＋ｚ^4），ｙ＝ａ（ｚ－ｚ^3）／（１＋ｚ^4）とパラメトライズした場合，
ｘ^2＋ｙ^2＝２ａ^2ｚ^2／（１＋ｚ^4）
ｘ^2－ｙ^2＝４ａ^2ｚ^4／（１＋ｚ^4）^2
（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2＝２ａ^2ｄｚ／（１＋ｚ^4）
より，
∫(z,1)ｄｚ／（１＋ｚ^4）^1/2＝１／２Ｆ（１／√２，φ）
ガウスは
ｘ^2＝１／２（ｚ^2＋ｚ^4），ｙ^2＝１／２（ｚ^2－ｚ^4）
ｄｓ＝（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｄｚ／（１－ｚ^4）^1/2
より，レムニケートの弧長を
∫ｄｚ／（１－ｚ^4）^1/2
で表したが，このように∫ｄｚ／（１＋ｚ^4）^1/2によっても表すことができて，
１／√２Ｆ（１／√２，φ）
＝∫(c,1)ｄｚ／（１－ｚ^4）^1/2＝√２∫(z,1)ｄｚ／（１＋ｚ^4）^1/2
なる関係を得ることができる．ここで，
ｃ＝ｃｏｓφ＝√２ｚ／（１＋ｚ^4）^1/2
なお，レムニスケートは
ｘ＝ｔ（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）
ｙ＝ｔ（１－ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）
のようにパラメトライズすることもできる．
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また，中間積分（と自分勝手に呼んでいる）
Ｉ＝∫(c,1)ｄｘ／（１－ｘ^3）^1/2
を考える．
変換
ｘ＝１＋√３（ｙ－１）／（ｙ＋１）
により，ｘ＝ｃに対するｙの値を
ｙ1＝（ｃ－１＋√３）／（－ｃ＋１＋√３）
とおくと
Ｉ＝１／4√３∫(y1,1)２ｄｙ／（（１－ｙ^2）（２－√３＋（２＋√３）ｙ^2）^1/2
ここで，ｙ^2＝１－ｚ^2，ｚ1^2＝１－ｙ1^2とおくと第１種楕円積分
Ｉ＝１／4√３∫(0,z1)ｄｚ／（（１－ｚ^2)（１－ｋ^2ｚ^2）^1/2＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ1）
となる．ただし，
ｋ＝（√２＋√６）／４，ｓｉｎφ1＝ｚ1
ちなみに，
∫(c,1)ｄｘ／（１－ｘ^4）^1/2＝１／√２Ｆ（ｋ，φ1）
ｋ＝１／√２
φ1＝ａｒｃｃｏｓ（ｃ）
レムニスケートの全長は４ａ／√２Ｋ（１／√２）
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【３】雑感
∫(0,x)ｘｄｘ／（１－ｘ^4）^1/2
を考えると
∫(0,x)ｘｄｘ／（１－ｘ^4）^1/2＝１／２ａｒｃｓｉｎｘ^2
のように初等関数で表されるので，擬楕円積分と呼ばれる．
オイラーは，弾性曲線の研究で積分
ｆ（ｘ）＝∫(0,x)ｘ^2ｄｘ／（ａ^2－ｘ^4）^1/2
によって与えられる弾性曲線の性質として，その原点から（ｘ，ｙ）までの弧長
ｓ（ｘ）＝∫(0,x)ａ^2ｄｘ／（ａ^2－ｘ^4）^1/2
について
ｆ（ａ）ｓ（ａ）＝πａ^2／４
であることを発見した．
この関係は第１種楕円積分ｓ（ｘ）と第２種楕円積分ｆ（ｘ）の周期の間に成り立つルジャンドルの関係式をレムニスケートの場合に特殊化したものに他ならない．
第１種楕円積分からヤコビの楕円関数が導かれる．第２種，第３種楕円積分はヤコビの楕円関数の積分として表すことができる．したがって，第１種楕円積分はとくに重要である．逆に，ヤコビの楕円関数は第１種楕円積分から出発するのであるが，第２種，第３種楕円積分から出発することも出来なくはないのだろうが，第１種楕円積分から出発するのが最も簡単なのである．
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