ガウスは１７９６年に

　　u=F(x)=∫(0,x)1/(1-t^3)^(1/2)dt

の逆関数，その翌年には

　　u=F(x)=∫(0,x)1/(1-t^4)^(1/2)dt

の逆関数について考察しています．後者はレムニスケートサイン関数の定義につながるものであったわけですが，今回のコラムでは前者について考えてみることにしましょう．

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【１】1/(1-t^3)^(1/2)

　　∫1/(1-x^2)^(1/2)dx

は円（２次曲線），

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

はレムニスケート（４次曲線）に対応していますが，周長が

　　∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

　　∫1/(1-r^3)^(1/2)dx

で表される曲線はどのようなものになるでしょうか？

　この円と双葉の中間に位置する幾何学的対象物は，微分方程式

　　(1+(dy/dx)^2)^(1/2)=1/(1-x^3)^(1/2)

　　dy/dx=(x^3/(1-x^3))^(1/2)

あるいは

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^3)^(1/2)

　　dθ/dr=(r/(1-r^3))^(1/2)

を満たさなければなりませんが，このことから１２次曲線

　　ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３／２θ）

が得られます．

　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

　　ｃｏｓ^2（３θ／２）＝（１＋ｃｏｓ３θ）／２＝（４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＋１）／２

ですから

　　２ｒ^3−１＝４ｘ^3／ｒ^3−３ｘ／ｒ

　　２ｒ^6−ｒ^3＝４ｘ^3−３ｘｒ^2

　　（２ｒ^6−４ｘ^3＋３ｘｒ^2）^2＝ｒ^6

　　（２（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４ｘ^3＋３ｘ（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3　→　１２次曲線（３次曲線ではありません！）

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【２】1/(1-t^3)^(1/2)

　周長が

　　∫1/(1-x^n)^(1/2)dx

で表される曲線は

　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２θ）

である．

（証）

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^n)^(1/2)

　　rdθ/dr=(r^n/(1-r^n))^(1/2)

　　dθ/dr=(r^n-2/(1-r^n))^(1/2)

　　dr/dθ=((1-r^n)/r^n-2)^(1/2)

　一方，

　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２θ）

　　n/2･ｒ^(n/2-1)dr/dθ＝n/2･ｓｉｎ（ｎ／２θ）

　　ｒ^(n/2-1)dr/dθ＝ｓｉｎ（ｎ／２θ）

　　dr/dθ＝ｓｉｎ（ｎ／２θ）／ｒ^(n/2-1)=((1-r^n)/r^n-2)^(1/2)

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