オイラーは円からの類推を用いて，
1/(1-t^3)^(1/2)
1/(1-t^4)^(1/2)
1/(1-t^6)^(1/2)
に対する一般積分を見いだしているのですが，
1/(1-t^5)^(1/2)
に対しては結果が得られなかったようです．
f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)
のとき，
sin^(-1)z=∫(0,z)f(x)dx
であるから，
2∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π
∫(0,1)f(x)dx=π/2
となる．それでは，
f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)
としたとき，
∫(0,1)f(x)dx=1.311028･･･=ω
は，どのようにすれば得られるのでしょうか？
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【１】オイラーの積分
ベータ関数において，a=m/n,b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，
∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）
したがって，
(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２
(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２
(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π
(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
が得られます．
∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２
∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２
は初等的にも得ることができます．一方，
∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
は，特別な数と楕円積分を関係づけるものになっています．
これらを，Γ^q（1/q）の形で統一的に表示すれば，
Γ^2（1/2）＝π＝２∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx
Γ^3（1/3）＝２^(4/3)３^(1/2)π∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx
Γ^4（1/4）＝２^5π（∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx）^2
なお，
∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π
を得るには，ガンマ関数の乗法公式（倍数公式）
Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)
と相反公式（相補公式）
Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ
また，
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
を得るには乗法公式を用いています．
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［補］
(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ（1/4）√π／４Γ（3/4）
(m,n)=(3,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ（3/4）√π／４Γ（5/4）
が得られます．
ここで，Γ（5/4）＝Γ（1/4）/4ですから，
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx･∫(0,1)x^2/(1-x^4)^(1/2)dx=π/4
が成立します．
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［補］∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）
∫(0,∞)x^(m-1)/(1+x^n)dx=π／nｓｉｎ（mπ/n）
∫(0,1)x^(n-k-1)/(1-x^n)^((n-k)/n)dx=∫(0,∞)x^(n-k-1)/(1+x^n)dx
ここで，
(p,q)=∫(0,1)x^(p-1)(1-x^n)^((q-n)/n)dx
とおくと，
(p,q)=(q,p)
(n-k,k)=(k,n-k)=π／nｓｉｎ（kπ/n）
((p+n),q)=p(p,q)/(p+q)
ｎ＝３のとき，(2,1)=(1,2)は
∫(0,1)x/(1-x^3)^(2/3)dx=∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/3)dx=2π/3√3
ｎ＝４のとき，(3,1)=(1,3)は
∫(0,1)x^2/(1-x^4)^(3/4)dx=∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/4)dx=π/2√2
(2,2)は
∫(0,1)x/(1-x^4)^(2/4)dx=∫(0,1)x/(1-x^4)^(1/2)dx=π/4
ｎ＝６のとき，(5,1)=(1,5)は
∫(0,1)x^4/(1-x^6)^(5/6)dx=∫(0,1)1/(1-x^6)^(1/6)dx=π/3
(4,2)=(2,4)は
∫(0,1)x^3/(1-x^6)^(4/6)dx=∫(0,1)x^3/(1-x^6)^(2/3)dx
=∫(0,1)x/(1-x^6)^(2/6)dx=∫(0,1)x/(1-x^6)^(1/3)dx=π/3√3
(3,3)は
∫(0,1)x^5/(1-x^6)^(5/6)dx=∫(0,1)x^5/(1-x^6)^(1/6)dx=π/6
ｎ＝１７のとき，(16,1)=(1,16)は
∫(0,1)x^16/(1-x^17)^(16/17)dx=∫(0,1)1/(1-x^17)^(1/17)dx
=π/17sinπ/17
(p,q)=B(p/n,q/n)/n
であって，p+q=nの場合を考えると
(p,q)=π/nｓｉｎ(pπ/n)
B(p/n,1-p/n)=π/nｓｉｎ(pπ/n)
Γ(p/n)Γ(1-p/n)=π/nｓｉｎ(pπ/n)
これはガンマ関数の相補公式
Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ
にほかならない．
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