ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ）　　　（０≦ｔ≦１）

はひとつの曲線を定義すると考えられていたが，１８９０年，ペアノは面積を充填する曲線を発見した．その驚きは非常に大きかった．

　　　ｆ（ｔ）＝０　　　　　　（０≦ｔ≦１／３）

　　　ｆ（ｔ）＝３ｔ−１　　　（１／３≦ｔ≦２／３）

　　　ｆ（ｔ）＝１　　　　　　（２／３≦ｔ≦１）

この定義をすべての実数ｔに拡張して，ｆ（ｔ）は周期２の周期的偶関数とする．

　　ｆ（−ｔ）＝ｆ（ｔ），ｆ（ｔ＋２）＝ｆ（ｔ）

　ｔがΓに含まれるとき，この関数の重要な性質はΓ上で恒等式

　　ｔ＝Σ(0,∞)２ｆ（３^nｔ）／３^n+1

　　ａn＝ｆ（３^nｔ）＝０または１

が成り立つことである．

　このことを用いると，ｔ（０≦ｔ≦１）をΓに制限してもペアノ曲線が正方形や立方体を覆うことができるいたるところで微分不可能な連続曲線であることが証明されるのである．

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【１】ペアノ曲線

［１］線分を覆うことができる平面充填ペアノ曲線

　　ｘ（ｔ）＝Σ(0,∞)ｆ（３^nｔ）／２^n+1＝Σ(0,∞)ａn／２^n+1

［２］正方形を覆うことができる平面充填ペアノ曲線

　　ｘ（ｔ）＝Σ(0,∞)ｆ（３^2nｔ）／２^n+1＝Σ(0,∞)ａ2n／２^n+1

　　ｙ（ｔ）＝Σ(0,∞)ｆ（３^2n+1ｔ）／２^n+1＝Σ(0,∞)ａ2n+1／２^n+1

［３］立方体を覆うことができる空間充填ペアノ曲線

　　ｘ（ｔ）＝Σ(0,∞)ｆ（３^3nｔ）／２^n+1＝Σ(0,∞)ａ3n／２^n+1

　　ｙ（ｔ）＝Σ(0,∞)ｆ（３^3n+1ｔ）／２^n+1＝Σ(0,∞)ａ3n+1／２^n+1

　　ｚ（ｔ）＝Σ(0,∞)ｆ（３^3n+2ｔ）／２^n+1＝Σ(0,∞)ａ3n+2／２^n+1

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【２】ペアノ曲線の連続性と非微分可能性

　これらの連続性は

　　１＝Σ(0,∞)１／２^n+1

から保証される．

　非微分可能性はａ

　　　Ｓ（ｔ）＝３／４（Ｅ（ｔ−１）＋１）＝Σ(0,∞)ｆ（３^nｔ）／３^n

　　　ｆ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）−Ｓ（３ｔ）／３

　　　Ｓ（９^nｔ）＝３／４（Ｅ（９^nｔ−１））＋３／４＝３／４（Ｅ（９^n（ｔ−１））＋３／４　　　（∵９^n＝１　　（ｍｏｄ２））ﾝ

　　　Σ(0,∞)Ｓ（９^nｔ）／２^n＝３／４（Ｆ（ｔ−１））＋３／２

はいかなるところでも微分可能でないことから保証される．

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【３】補足

　恒等式

　　　ｆ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）−Ｓ（３ｔ）／３

　　　ｆ（３ｔ）／３＝Ｓ（３ｔ）／３−Ｓ（９ｔ）／９

　　　ｆ（９ｔ）／９＝Ｓ（９ｔ）／９−Ｓ（２７ｔ）／２７

　　　ｆ（２７ｔ）＝Ｓ（２７ｔ）／２７−Ｓ（８１ｔ）／８１

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

を無限に繰り返すと

　　　Ｓ（ｔ）＝Σ(0,∞)ｆ（３^nｔ）／３^n

　恒等式

　　　ｓｉｎ^4（ｔ）＝ｓｉｎ^2（ｔ）−ｓｉｎ^2（２ｔ）／２

　　　ｓｉｎ^4（２ｔ）／２＝ｓｉｎ^2（２ｔ）／２−ｓｉｎ^2（４ｔ）／４

　　　ｓｉｎ^4（４ｔ）／４＝ｓｉｎ^2（４ｔ）／４−ｓｉｎ^2（８ｔ）／８

　　　ｓｉｎ^4（８ｔ）／８＝ｓｉｎ^2（８ｔ）／８−ｓｉｎ^2（１６ｔ）／１６

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

を無限に繰り返すと

　　　ｓｉｎ^2（ｔ）＝Σ(0,∞)ｓｉｎ^4（２^nｔ）／２^n

が示される．

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