フラクタル構造はいたるところで微分不可能な連続曲線という病理的な性質をもっている．今回のコラムでは導関数をもたない連続関数について考察する．

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【１】ワイエルシュトラスの例

　いかなるところでも微分可能でない関数の最初の例はワイエルシュトラスに負っている．

［１］０＜ａ＜１，ａｂ＞１＋３π／２＝５．７１２，ｂは奇数．このとき

　　Ｗ（ｔ）＝Σ(0,∞)ａ^nｃｏｓ（ｂ^nπｔ）

［２］Ｅ（ｔ）＝−２ｔ＋１　　　（０≦ｔ≦１）

　　　Ｅ（ｔ）＝２ｔ−３　　　　（１≦ｔ≦２）

この定義をすべての実数ｔに拡張して，Ｅ（ｔ）は周期２の周期的偶関数とする．

　　Ｅ（−ｔ）＝Ｅ（ｔ），Ｅ（ｔ＋２）＝Ｅ（ｔ），Ｅ（ｔ＋１）＝−Ｅ（ｔ）

　　Ｅ（ｔ＋ｋ）＝（−１）^kＥ（ｔ），Ｅ（ｎ）＝（−１）^n

　　０＜ａ＜１，ａｂ＞４，ｂは奇数．このとき

　　Ｆ（ｔ）＝Σ(0,∞)ａ^nＥ（ｂ^nｔ）

はいかなるところでも微分可能ではない．たとえば

　　Ｆ（ｔ）＝Σ(0,∞)Ｅ（９^nｔ）／２^n

はいかなるところでも微分可能でない．

［３］ｆ（ｔ）＝０　　　　　　（０≦ｔ≦１／３）

　　　ｆ（ｔ）＝３ｔ−１　　　（１／３≦ｔ≦２／３）

　　　ｆ（ｔ）＝１　　　　　　（２／３≦ｔ≦１）

　　　Ｓ（ｔ）＝３／４（Ｅ（ｔ−１）＋１）＝Σ(0,∞)ｆ（３^nｔ）／３^n

　　　Ｓ（ｔ）＝３ｔ／２　　　　　　（０≦ｔ≦１）

　　　Ｓ（ｔ）＝−３ｔ／２＋３　　　（１≦ｔ≦２）

は周期２の連続な偶関数である．

　　　ｆ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）−Ｓ（３ｔ）／３

　　　Ｓ（９^nｔ）＝３／４（Ｅ（９^nｔ−１））＋３／４＝３／４（Ｅ（９^n（ｔ−１））＋３／４　　　（∵９^n＝１　　（ｍｏｄ２））ﾝ

　　　Σ(0,∞)Ｓ（９^nｔ）／２^n＝３／４（Ｆ（ｔ−１））＋３／２

はいかなるところでも微分可能でない．

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【２】ワイエルシュトラスの近似定理

　任意の周期関数は三角級数近似できるというのがフーリエの定理であるのに対し，任意の関数は多項式で近似できるというのがワイエルシュトラスの近似定理である．

　ここではランダウによる証明の概要を紹介する．はじめにξ＝λｘ＋μの形の変換を行って，区間［ａ，ｂ］を区間［０，１］に変換しておく．ランダウ核

　　Ｄn（ｕ）＝（１−ｕ^2）^n／２∫（１−ｕ^2）^nｄｕ

として，証明の目標は「閉区間ａ≦ｘ≦ｂで連続な関数ｆ（ｘ）は多項式によって一様に近似することができる」＝「任意のεに対し，常に｜ｆ（ｘ）−Ｐ（ｘ）｜＜εとなる多項式Ｐ（ｘ）が存在する」を示すことにある．

　証明は解析的で，かなり長くなるが

　　Ｐn（ｘ）＝∫ｆ（ｕ）Ｄn（ｘ−ｕ）ｄｕ→ｆ（ｘ）

が示されＱＥＤ．Ｐn（ｘ）はｘに関して２ｎ次多項式になっている．

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