半径２ｒの円が半径Ｒ＝３ｒの円の内側を転がるとき，円上の固定された直径の描く包絡線はデルトイドになるわけですが，デルトイドの場合，この直径の両端も同じデルトイド上にあります．

　このようにデルトイドでは半径２ｒの円上の定点の軌跡としても与えられますし，また，円周上を反時計回りと時計回りに動く２点Ｐ，Ｑがあり，点Ｐは点Ｑの２倍の速さで動くとき，直線ＰＱの包絡線もデルトイドになります．

　これにより「デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定である」という性質が生じます．これはデルトイドでは長さ４ｒの棒をデルトイドに接しながら１回転することができるというのと同一です．

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【１】直交座標を用いて

　デルトイド

　　ｘ＝２ｃｏｓｔ＋ｃｏｓ２ｔ

　　ｙ＝２ｓｉｎｔ−ｓｉｎ２ｔ

の場合，ｔで微分すると

　　ｘ’＝−２ｓｉｎｔ−２ｓｉｎ２ｔ

　　ｙ’＝２ｃｏｓｔ−２ｃｏｓ２ｔ

ですから，

　　ｄｙ／ｄｘ＝−（ｃｏｓｔ−ｃｏｓ２ｔ）／（ｓｉｎｔ＋ｓｉｎ２ｔ）

　これをｍとおいて，

　　ｙ−ｙ0＝ｍ（ｘ−ｘ0）

を整理すると，接線の方程式

　　（１−ｃｏｓｔ）ｘ＋（ｓｉｎｔ）ｙ＝ｃｏｓｔ−ｃｏｓ２ｔ

が得られる．

　また，エピサイクロイド（カージオイド，ネフロイドなど），ハイポサイクロド（デルトイド，アステロイドなど）は，サイクロイドとは異なり代数曲線であり，直交座標系におけるデルトイドの方程式は

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋１２ｘ＋９＋ｙ^2）^2−４（２ｘ＋３）^3

　＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋１８（ｘ^2＋ｙ^2）−８ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）−２７＝０

と表される．

　　（１−ｃｏｓｔ）ｘ＋（ｓｉｎｔ）ｙ＝ｃｏｓｔ−ｃｏｓ２ｔ

を代入するとｘに関する４次方程式となるが，この方程式は

　　（ｘ−２ｃｏｓｔ−ｃｏｓ２ｔ）^2

で割り切れるから，残りの２根は

　　（ｘ＋２ｃｏｓｔ／２−ｃｏｓｔ）（ｘ−２ｃｏｓｔ／２−ｃｏｓｔ）

より求めることができる．すなわち，π−ｔ／２，２π−ｔ／２となることが示される・・・はずである．しかし，実際にはこの因数分解は大変面倒な作業となる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｄｙ／ｄｘ＝−（１−ｃｏｓｔ）／ｓｉｎｔ＝ｔａｎ（−ｔ／２）

すなわち，接ベクトルの偏角が−ｔ／２であることに気づけばπ−ｔ／２，２π−ｔ／２を容易に示すことができる．その結果，

　　Ｐ1（−２ｃｏｓｔ／２＋ｃｏｓｔ，　２ｓｉｎｔ／２＋ｓｉｎｔ）

　　Ｐ2（　２ｃｏｓｔ／２＋ｃｏｓｔ，−２ｓｉｎθ／２＋ｓｉｎｔ）

　これからＰ1Ｐ2＝４（一定）となることがわかる．すなわち，デルトイドは３つの尖点をもつ図形であるが，デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定であるという性質をもつのである．

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【２】複素数を用いて

　動円の半径ｒのデルトイドでは長さ４ｒの棒をデルトイドに接しながら１回転することができるというのと同じことを今度は複素数を用いて表してみる．

　半径１／４の回転円が半径３／４の固定円に内接して滑ることなく転がっていくとき，回転円の周上の点の軌跡を考えると，

　　ｚ＝ｆ（ｔ）＝１／２ｅｘｐ（ｉｔ）＋１／４ｅｘｐ（−２ｉｔ）

　パラメータｔ0における接ベクトルの偏角は−ｔ0／２なので，接線の両端では

　　ｔ1＝−ｔ0／２，ｔ2＝−ｔ0／２＋π

　　ｆ（ｔ1）−ｆ（ｔ0）＝　ｅｘｐ（−ｉｔ0／２）ｓｉｎ^2３ｔ0／４

　　ｆ（ｔ2）−ｆ（ｔ0）＝−ｅｘｐ（−ｉｔ0／２）ｃｏｓ^2３ｔ0／４

これより，

　　｜ｆ（ｔ1）−ｆ（ｔ2）｜＝１

が示される．

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【３】雑感

　デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定であるという性質はシュタイナーを待たずともかなり以前から知られていたはずである．したがって，ここに掲げたものよりももっと簡単な図形的証明があるに違いない．

　なお，ここで注意しなければならないことは，ｔは点Ｐ（ｘ，ｙ）の極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことである．そのため，デルトイドの面積を

　　Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄｔ　　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2

として計算すると

　　Ｓ＝（ｎ^2−２ｎ＋２）・πｒ^2

となって，正しい値

　　Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）・πｒ^2

は得られない．

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