楕円積分をめぐるもうひとつの話題に「算術幾何平均」があります．
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【１】算術幾何平均
ａがｘ^2＝２の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．
かくして算術平均：
ａn+1=1/2(ａn＋２／ａn)
によって定義される数列は√(2)に収束することになります．この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．
次に，算術平均に加えて，幾何平均も考えることにします．
「２数ａ0，ｂ0をとり，それらの算術平均ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２，幾何平均ｂ1＝√ａ0ｂ0を計算する．次に，ａ1，ｂ1の算術平均と幾何平均を計算し，ａ2＝（ａ1＋ｂ1）／２，ｂ2＝√ａ1ｂ1とする．すると，ａnとｂnは急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する．」
（証明）
ａ0＞ｂ0とする．
ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２＜（ａ0＋ａ0）／２＝ａ0
ｂ1＝√ａ0ｂ0＞√ｂ0ｂ0＝ｂ0
ａ1−ｂ1＝（ａ0＋ｂ0）／２−√ａ0ｂ0＝１／２（√ａ0−√ｂ0）＞０
帰納的に
ａ0＞・・・＞ａn ＞ａn+1＞ｂn+1＞ｂn ＞・・・＞ｂ0
より数列｛ａn｝，｛ｂn｝は単調数列となり，同じ値に収束することがわかる．
このように，１組の数（ａ，ｂ）に対して，算術および幾何平均を考えて，
(a,b):=((a+b)/2,√(ab))
と繰り返す算法を算術幾何平均法と呼びます．
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【２】一般化
ｘn＝ｆ（ｘn-1，ｙn-1）
ｙn＝ｇ（ｘn-1，ｙn-1）
を繰り返すとき，数列ｘn，ｙnが同じ極限Ｍ（ｘ，ｙ）に収束し，極限関数Ｍ（ｘ，ｙ）が具体的に定められるのはどのような場合でしょうか？
［１］収束性
答えを先にいうと，ｆ，ｇが比較可能な平均という性質をもつとき，同じ値に収束することが証明されます．
(1)平均の定義
ｘ＜ｙならば，ｘ＜ｆ（ｘ，ｙ）＜ｙ
λ＞０ならば，ｆ（λｘ，λｙ）＝λｆ（ｘ，ｙ）
(2)比較可能関数の定義
２つの関数の間に不等式ｆ（ｘ，ｙ）≦ｇ（ｘ，ｙ）が成り立つ．
この意味でＨ，Ｇ，Ａ，Ｅは平均の条件を満たし，不等式Ｈ＜Ｇ＜Ａ＜Ｅが成り立ちます．
［２］極限関数
極限関数Ｍ（ｘ，ｙ）は初期値（ｘ0，ｙ0）の如何に関わらず，
Ｍ（ｘ，ｙ）＝Ｍ（ｘ0，ｙ0）
したがって
Ｍ（ｘ，ｙ）＝Ｍ（ｆ（ｘ，ｙ），ｇ（ｘ，ｙ））
を満たします（不変性）．
（例１）ｆ＝２ｘｙ／（ｘ＋ｙ）＝Ｈ，ｆ＝（ｘ＋ｙ）／２＝Ａ
とおくと，ｘ0ｙ0＝ｘ1ｙ2＝・・・という不変性を示す．この極限関数は
Ｍ（ｘ，ｙ）＝（ｘｙ）^(1/2)＝Ｇ
に急速に収束する．→算術調和平均
（例２）ｆ＝Ｇ，ｇ＝Ａならば極限Ｍ（ａ，ｂ）は楕円積分
Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}）
により表すことができる（ガウス）．→算術幾何平均
ラグランジュ，ガウス，ルジャンドルは１８世紀に算術幾何平均を熟知していたようです．ガウス・ルジャンドルの算術幾何平均法では，反復のたびに有効数字は２倍になりますから，数値計算アルゴリズムの強力な武器となりえます．
楕円積分の二重周期は算術幾何平均法を使って計算されます．実際，東京大学の金田康正氏のグループは楕円積分の計算と関係した算術幾何平均法を用いて円周率πの計算の世界記録を樹立しました．その計算量はＯ（ｎｌｏｇｎ）となり，計算能率はarctan（ｘ）の展開公式Ｏ（ｎ^2）よりも格段に優れています．円周率πの計算や巨大な素数の発見はコンピュータシステムの信頼性や処理速度といった性能をテストするのに最適ということです．
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【３】バリエーション
(1)２数ａ0，ｂ0をとり，ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２，ｂ1＝√ａ1ｂ0＝√ｂ0（ａ0＋ｂ0）／２を計算する．次に，ａ2＝（ａ1＋ｂ1）／２，ｂ2＝√ａ2ｂ1とする．ｂnを計算するときａn-1でなく最新のａnを使っていることに注意されたい．
すると，ａnとｂnは急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する．このとき，極限関数はＭ（ａ，ｂ）＝
（ｂ^2−ａ^2）^(1/2)／ａｒｃｃｏｓ（ａ／ｂ） （０≦ａ＜ｂのとき）
ａ （ａ＝ｂのとき）
（ａ^2−ｂ^2）^(1/2)／ａｒｃｃｏｓｈ（ａ／ｂ） （ｂ＜ａのとき）
で与えられる（パッフ）．
(2)０≦ａ0＜ｂ0なる２数ａ0，ｂ0をとり，ａ1＝｛ａ0（ａ0＋ｂ0）／２｝^(1/2)，ｂ1＝｛ｂ0（ａ0＋ｂ0）／２｝^(1/2)を計算する．これを繰り返すとａnとｂnは急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する（カールソン）．
Ｍ（ａ，ｂ）＝｛（ｂ^2−ａ^2）／２ｌｏｇ（ａ／ｂ）｝^(1/2)
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【補】ニュートン法
ｘn+1＝ｘn−ｆ（ｘn）／ｆ’（ｘn）
において，ｆ（ｘ）＝ｘ^2−１の場合，
ｘn+1＝１／２（ｘn＋１／ｘn）
となる．
ニュートン法をｆ（ｘ）＝ｘ^3−１に適用すると
ｘn+1＝（２ｘn^3＋１）／３ｘn^2
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