「小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．」というのがポンスレーの定理である．また，ポンスレーの定理は２つの円を２つの楕円に置き換えても成立する．

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【１】ポンスレーの定理と楕円積分

　ポンスレーの定理では楕円積分に帰着させる微分積分学的な証明が知られている．

　　∫(φ,φ+π)ｄθ／（１−ｋ^2ｓｉｎ^2θ）^1/2＝ｎω

披積分関数は周期πの周期関数であるからφの値に依存しない．したがって，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなすというわけである．

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【２】円積分の倍角公式

　この証明から周長のｎ等分問題が想起されますが，円周の場合，

　　2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^2)^1/2)f(t)dt

　　２Ｇ（ｘ）＝Ｇ（２ｘ（１−ｘ^2）^1/2）

が成り立ちます．

　2x(1-x^2)^1/2はｘから四則演算および平方根により得られますので，この式は定規とコンパスだけで円弧長を２倍にする作図が可能であることを示しています．

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【３】円積分の半角公式

　　1/2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,{(1-(1-x^2)^1/2)/2}^1/2)f(t)dt

が成り立ちます．

　2x(1-x^2)^1/2，{(1-(1-x^2)^1/2)/2}^1/2はｘから四則演算および平方根により得られますので，この式は定規とコンパスだけで円弧長を１／２倍にする作図が可能であることを示しています．とくに，sinu=1(cosu=0)のとき，sinu/2=1/√2ですから，４半円弧長を定規とコンパスで２等分できることがわかります．

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【４】レムニスケート積分の倍角公式

　　2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt

　　２Ｇ（ｘ）＝Ｇ（２ｘ（１−ｘ^4）^1/2／（１＋ｘ^4））

が成り立ちます．

　2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4)もｘから四則演算および平方根により得られますので，円同様，レムニスケートも定規とコンパスだけで弧長を２倍にする作図が可能であることを示しています．

　１７５１年，オイラーは逆正弦関数の加法定理

　　Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2）

との類似に基づいて，レムニスケート積分に対する加法定理

　　Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））

を構成することに成功しています．

　レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．

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【５】レムニスケート積分の半角公式

　倍角公式を取り上げたので，ここでは半角公式，すなわち「レムニスケートの弧長を１／２倍にすること」について調べてみることにします．

　sl(u/2)=(-1+√2)^1/2も四則演算および平方根により得られますので，円同様，レムニスケートの４半弧も定規とコンパスだけで弧長を１／２倍にする作図が可能であることを示しています．

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【６】1/(1-t^3)^(1/2)

　　∫1/(1-x^2)^(1/2)dx

は円（２次曲線），

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

はレムニスケート（４次曲線）に対応していますが，周長が

　　∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

　　∫1/(1-r^3)^(1/2)dx

で表される曲線はどのようなものになるでしょうか？

　この円と双葉の中間に位置する幾何学的対象物は，微分方程式

　　(1+(dy/dx)^2)^(1/2)=1/(1-x^3)^(1/2)

　　dy/dx=(x^3/(1-x^3))^(1/2)

あるいは

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^3)^(1/2)

　　dθ/dr=(r/(1-r^3))^(1/2)

を満たさなければなりませんが，このことから１２次曲線

　　ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３／２θ）

が得られます．

　この半三つ葉型の「中間曲線」は２等分できないことがわかります．レムニスケートは定規とコンパスだけで２^n等分（さらに奇数のｎ等分，ｎ＝３，５，１７，２５７，６５５３７）できるいかに特殊な曲線であるのか，おわかりいただけるでしょう．

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