１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつきました．正七角形の作図は不可能で，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．
正７角形も正９角形も作図できないのに，まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが，このことを用いると，ｍ＝０のとき正３角形，ｍ＝１のとき正５角形，ｍ＝２のとき正１７角形となり，作図可能であることがわかります．当然，ずっと面倒になるでしょうが，正２５７角形（ｍ＝３），正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です．次に興味があるのは正４２９４９６７２９７角形（ｍ＝５）の場合ですが，あいにくこれは合成数です（フェルマーはこれが素数かどうかは示せなかった）．
正ｎ角形の作図において，ｎは異なるフェルマー素数か２のベキ乗との積
ｎ＝２^kΠＦm
でなければなりません．したがって，
［１］ｎ＝２，３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６，１７，２０，２４，３０ → 作図可能
［２］ｎ＝７，９，１１，１３，１４，１８，１９，２１，２２，２３，２５ → 作図不可能
となって，幾何学的に解ける正奇数角形は，２^5−１＝３１通り，最大
３・５・１７・２５７・６５５３７＝４２９４９６７２９５
角形まであります．
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【１】フェルマー素数
２2^m＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．フェルマー素数はガウスによって１世紀にわたる眠りから覚まされ，数論と幾何学に新たな美しさを吹き込んだことになります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｍ＝５のときは素数ではなく，現在，ｍ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．６番目のフェルマー素数の探索がコンピュータを使ってなされていますが，はたして本当に存在するのでしょうか．
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【２】ｎ^2＋１型素数
ガウスは，π（ｘ）をｘ以下の素数の個数とすると，
π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ （ｘ→∞）
が成り立つだろうと予想しました．この予想はリーマンの研究を経て，１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明されました．これを素数定理といいます．
［１］双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，
πtwin（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ）^2〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2
ただし，ｐを３以上の素数として
Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３２・・・
と予想されています．
［２］１０を原始根とする素数，たとえば，
７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・
の密度について，アルティンは
π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）
と予想しています．
ただし，ｐを素数として，Ｃは
Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）
［３］ｎ^2＋１型素数
πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）
と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．
Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））
ｎ^2＋１＝０ （ｍｏｄｐ）→ χ（ｐ）＝１
ｎ^2＋１≠０ （ｍｏｄｐ）→ χ（ｐ）＝−１
Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・
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【３】ゴールドバッハ予想
ゴールドバッハ予想（４より大きいすべての偶数ｎは２つの奇素数の和で表すことができる）に関連して，偶数ｎを２つの奇素数の和で表す表し方の数をＮ2（ｎ）とするとき，
Ｎ2（ｎ）〜Ｃｎ／（ｌｏｇｎ）^2Π（（ｐ−１）／（ｐ−２））
Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝２＝１．３２０３２・・・
で与えられるだろうと予想されています．
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【４】平方数の和（ランダウ・ラマヌジャン定数）
すべての整数は４つ以下の平方数の和として表現することができます（ラグランジュの定理，１７７０年）．
ゴールドバッハ予想の素数のところを平方数で置き換えた類似問題：２つの平方数の和として表現できるｘ以下の整数の個数をｎ（ｘ）とすると，ランダウとラマヌジャンはそれぞれ独自に
ｎ（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^1/2 （ｘ→∞）
Ｃ＝｛１／２Π（１／１−ｐ^-2）｝^1/2＝０．７６４２２３６５３・・・
ｐは４ｎ＋３型素数をわたる
が成り立つことを証明しました．
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