一般的なアルゴリズムを導き出すには，（その２８）のフースの定理の別証が参考になるものと思われる．それにしたがって，オイラーの定理の別証を書き換えてみたい．

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【１】オイラーの定理の別証

　内接円の中心を原点にとると，等辺となる直線は

　　ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｒ

外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ＝ｒ（１＋ｓｉｎθ）

　　（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎθ＝ｒ

　二等辺三角形の等辺の長さは正弦定理より

　　ａ／ｓｉｎ（π／２−θ）＝ａ／ｃｏｓθ＝２Ｒ

　また，二等辺三角形の半分の直角三角形に注目すると

　　（Ｒ＋ｄ＋ｒ）／ａ＝ｃｏｓθ

　　Ｒ＋ｄ＋ｒ＝２Ｒ（ｃｏｓθ）^2

さらに相似三角形より

　　ｒ／（Ｒ＋ｄ）＝ｓｉｎθ

　　２Ｒｒ^2／（Ｒ＋ｄ）^2＝２Ｒ（ｓｉｎθ）^2

　２つの方程式からθを消去すると，オイラーの定理

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

が示される．

　また，ｎ＝３の場合とｎ≧４の場合では，内接円の中心と外接円の中心の位置関係が逆転していることに注意，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＝Ｒ^2−（ｒ＋ｄ）^2

であるが，ここでは必要としない．

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【２】ｎ＝５の場合

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎφ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2−ｄ）^2＝Ｒ^2

　θとφを消去するにはどうしたらよいか？

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【３】ｎ＝６の場合

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（ｘ3，ｒ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　ｘ3ｃｏｓφ＋ｒｓｉｎφ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ−ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ3^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　θとφを消去するにはどうしたらよいか？

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