（その２７）のアルゴリズム自体は正しいが，もっと効率的なアルゴリズムはないものだろうか．

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【１】オイラーの定理の別証

　二等辺三角形の底角をθとすると，等辺の長さは正弦定理より

　　ａ／ｓｉｎθ＝２Ｒ

　また，二等辺三角形の半分の直角三角形に注目すると

　　（Ｒ＋ｄ＋ｒ）／ａ＝ｓｉｎθ

　　Ｒ＋ｄ＋ｒ＝２Ｒ（ｓｉｎθ）^2

さらに相似三角形より

　　ｒ／（Ｒ＋ｄ）＝ｃｏｓθ

　　２Ｒｒ^2／（Ｒ＋ｄ）^2＝２Ｒ（ｃｏｓθ）^2

　２つの方程式からθを消去すると

　　Ｒ＋ｄ＋ｒ＋２Ｒｒ^2／（Ｒ＋ｄ）^2＝２Ｒ

　　Ｒを＋ｄ＋ｒ＋２Ｒｒ^2／（Ｒ＋ｄ）^2＝２Ｒ−２Ｒｒ^2／（Ｒ＋ｄ）^2

　　（Ｒ＋ｄ）^2＝２Ｒ（Ｒ＋ｄ−ｒ）

より，オイラーの定理

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

が示される．

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【２】フースの定理の別証

　凧型の代わりに等脚台形を考えることにする．内接円の中心を原点にとると，脚となる直線は

　　ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｒ

外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｒ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ＝ｒ（１＋ｓｉｎθ）

　　ｘ2ｃｏｓθ＝ｒ（１−ｓｉｎθ）

これらは

　　ｘ1ｘ2＝ｒ^2

を満たす．

　また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＝Ｒ^2−（ｒ−ｄ）^2

　　ｘ2^2＝Ｒ^2−（ｒ＋ｄ）^2

　　ｘ1^2ｘ2^2＝ｒ^4

に代入して整理すると

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2

が得られる．

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【３】雑感

　問題は，これらから一般的なアルゴリズムを導き出せるかどうかである．

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