【１】オイラーの定理の証明

　解析幾何学を用いて，オイラーの定理

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

を示す．

　　外接円：ｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2

　　内接円：（ｘ−ｄ）^2＋ｙ^2＝ｒ^2

　どの点から始めても双心ｎ角形が得られるというポンスレーの閉包定理を用いて，点（Ｒ，０）を通る直線をｙ＝ｍ（ｘ−Ｒ）とおくと，この直線は内接円と接することから，

　　（ｘ−ｄ）^2＋ｍ^2（ｘ−Ｒ）^2＝ｒ^2

　　（１＋ｍ^2）ｘ^2−２（ｄ＋Ｒｍ）ｘ＋ｄ^2−ｒ^2＋ｍ^2Ｒ^2＝０

Ｄ＝０より，

　　ｍ^2＝ｒ^2／（（Ｒ−ｄ）^2−ｒ^2）

　また，この直線が外接円と交わる点のｘ座標はｘ＝ｄ−ｒであるから，

　　ｘ^2＋ｍ^2（ｘ−Ｒ）^2＝Ｒ^2

　　（ｄ−ｒ）^2＋ｍ^2（ｄ−ｒ−Ｒ）^2＝ｒ^2

この式に

　　ｍ^2＝ｒ^2／（（Ｒ−ｄ）^2−ｒ^2）

を代入して整理すると

　　ｒ^2＝（Ｒ−ｒ）^2−ｄ^2

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

が得られる．

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【２】フースの定理の証明

　　外接円：ｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2

　　内接円：（ｘ−ｄ）^2＋ｙ^2＝ｒ^2

　どの点から始めても双心ｎ角形が得られるというポンスレーの閉包定理を用いて，点（Ｒ，０）を通る直線をｙ＝ｍ（ｘ−Ｒ）とおくと，この直線は内接円と接することから，

　　（ｘ−ｄ）^2＋ｍ^2（ｘ−Ｒ）^2＝ｒ^2

　　（１＋ｍ^2）ｘ^2−２（ｄ＋Ｒｍ）ｘ＋ｄ^2−ｒ^2＋ｍ^2Ｒ^2＝０

Ｄ＝０より，

　　ｍ^2＝ｒ^2／（（Ｒ−ｄ）^2−ｒ2）

　また，点（−Ｒ，０）を通る直線をｙ＝ｍ’（ｘ＋Ｒ）とおくと，この直線は内接円と接することから，

　　（ｘ−ｄ）^2＋ｍ’^2（ｘ＋Ｒ）^2＝ｒ^2

　　（１＋ｍ^2）ｘ^2−２（ｄ−Ｒｍ）ｘ＋ｄ^2−ｒ^2＋ｍ^2Ｒ^2＝０

Ｄ＝０より，

　　ｍ’^2＝ｒ^2／（（Ｒ＋ｄ）^2−ｒ2）

　ｙ＝ｍ（ｘ−Ｒ）とｙ＝ｍ’（ｘ＋Ｒ）は直交することから，

　　ｍ^2・ｍ’^2＝１

を整理すると

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2

が得られる．

　なお，双心四角形の２組の対辺上の内接円の接点を結ぶ線分は互いに直交するが，これも，どの点から始めても双心ｎ角形が得られるというポンスレーの閉包定理から自然に得られる性質である．

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