昨年の今頃取り組んで尻切れトンボで終わってしまったテーマについて，再考してみたい．まずはおさらいから．

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【１】ポンスレーの定理

　小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．

　ポンスレーの定理では楕円積分に帰着させる微分積分学的な証明が知られている．また，ポンスレーの定理は２つの円を２つの楕円に置き換えても成立する．

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【２】オイラーの定理とフースの定理

　ポンスレーの定理においてｎ＝３の場合，一方の円（半径Ｒ）に内接し，もう一方の円（半径ｒ）に外接する三角形は無数にある．これが成り立つための条件は２つの円の中心間距離をｄとして，

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

となることである（オイラーの定理）．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝２ｒが成り立つ．

　四角形やそれ以上のｎ角形についても同様の定理が成り立ち，ひとつの円に内接し，他の円に外接する四（ｎ）角形は無数にある．オイラーの定理のｎ角形版として，フースの定理が知られている．たとえば，内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

が成り立つ．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝√２ｒが成り立つ．

　双心四角形の２組の対辺上の内接円の接点を結ぶ線分は互いに直交する．また，フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけている．

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