正ｎ角形が半径１の円に内接している．

［定理］ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の積はｎに等しい．

　　Πｄ＝ｎ

［定理］ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の平方の逆数の和公式

　　Σ１／ｄ^2＝（ｎ^2−１）／１２

［定理］ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の平方和は２ｎに等しい

　　Σｄ^2＝２ｎ

が成り立つ（この定理は高次元でも成り立つ）．

　このとき，Σｄ^2を基準とする代わりに，Σ１／ｄ^2を基準としてまとめると，対応する不等式は，（Σｄ）^2≦ＮΣｄ^2の代わりに

　　（Σ１／ｄ）^2≦ＮΣ１／ｄ^2

になる．

　　（Σ１／ｄ）^2≦（ｎ−１）^2（ｎ＋１）／１２

　次に，

　　（Σｄ）・（Σ１／ｄ）≧Ｎ^2

を用いれば，

　　（Σｄ）^2≧１２（ｎ−１）^2／（ｎ＋１）

が得られる．これらは正多角形について成り立つ不等式である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　今回のコラムでは，高次元正多面体を２次元正多角形に投影する問題を考える．

（Ｑ）可能だろうか？

（Ａ）石井源久先生によれば，３次元以上の正多胞体を２次元に投影したとき，輪郭が正ｍ角形になるように座標軸を取ることは可能である．そのうち，ｍが最大Ｍになるものは，対称性を損なわずかつ複数の頂点がなるべく重ならない配置である．

［１］正ｎ＋１胞体　→　Ｍ＝ｎ＋１

［２］正２ｎ，２^n胞体　→　Ｍ＝２ｎ

［３］３次元正１２，２０面体　→　Ｍ＝１０

［４］４次元正１００，６００胞体　→　Ｍ＝３０

［５］４次元正２４胞体　→　Ｍ＝１２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝