球面上のｎ点集合の問題は等周問題と類似の様相を呈してきました．多面体の等周問題には未解決の問題がまだまだ残されています．ここでは，任意の次元の球に内接する正多面体について，ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の積について考えてみます．

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【１】ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の積

　任意の次元の球に内接する多面体で，セントロイドと外接球の中心が一致するとき

　　Σｄ^2＝２ｎ

が成立する．これ以降，任意の次元の球に内接する多面体で，セントロイドと外接球の中心が一致するものを考慮の対象とする．場合によってはｄ次元多面体が一挙に２次元平面に退化し多角形になることもあるだろう．ここでは，２次元平面に退化した場合について考えることにする．

　多角形Π＝（ｚ0，ｚ1，・・・，ｚn-1）の頂点の重心がＯにあるとき，

　　Πｄj^2＝Π｜ｚj−ｚ0｜^2＝Π｜ｚj−１｜^2＝Π（２−２ｐ0・ｐj）＝２^n-1Π（１−ｃｏｓθj）＝４^n-1Πｓｉｎ^2（θj／２）

　議論を論理的にするには，多角形Π＝（ｚ0，ｚ1，・・・，ｚn-1）を等辺ｎ角形とし，

　　ｚa＝Σ(j=0-n-1)ζjωa^j＝ζ0＋ζ1ωa＋ζ2ωa^2＋・・・＋ζn-1ωa^n-1

　　ωa＝ｅｘｐ（２πｉａ／ｎ）　　　（ａ＝０，１，・・・，ｎ−１）

をその頂点の有限フーリエ級数とする．

　頂点の重心がＯにあると仮定すると，

　　ζ0＝０，ωj−１＝２ｓｉｎπｊ／ｎ・ｅｘｐ（ｉπｊ／ｎ）

となるのだが，直観的には，多角形Π＝（ｚ0，ｚ1，・・・，ｚn-1）を正ｎ角形とすると，

　　ｄj＝｜ｚj−１｜＝｜２ｓｉｎπｊ／ｎ｜

はその中央項に関して対称な単峰性の数列を形成すること，また，項は中央に近づくにつれて増加し，ｊ＝１，ｊ＝ｎ−１に対する両端の項は等しく，数列の最小であることに注目すると

　　Πｄj^2＝４^n-1Πｓｉｎ^2πｊ／ｎ＝ｎ^2

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