任意の次元の球に内接する多面体で，セントロイドと外接球の中心が一致するとき

　　Σｄ^2＝２ｎ

　　Σｄ^2＝ｎ^2

が成立する．

　セントロイドと外接球の中心が一致しないとき，

　　Σｄ^2＝２ｎ（１−ｃ^2）

　　Σｄ^2＝ｎ^2（１−ｃ^2）

であるから，

　　０≦Σｄ^2≦２ｎ

　　０≦Σｄ^2≦ｎ^2

になる．

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【１】不等式・再考

　これ以降，任意の次元の球に内接する多面体で，セントロイドと外接球の中心が一致するものを考慮の対象とする．

　相加平均・相乗平均・調和平均不等式より

　　Σｄ^2／Ｎ≧（Πｄ^2）^1/N＝（Πｄ）^2/N≧Ｎ／Σ１／ｄ^2

コーシー・シュワルツの不等式より

　　（Σｄ）^2≦ＮΣｄ^2

　　（Σ１／ｄ）^2≦ＮΣ１／ｄ^2

また，チェビシェフの不等式より

　　（Σｄ^2）・（Σ１／ｄ^2）≧Ｎ^2

　　（Σｄ）・（Σ１／ｄ）≧Ｎ^2

が成り立つ．これらの不等式では正単体のとき等号成立．

　　（Σｄ^2）・（Σ１／ｄ^2）≧Ｎ^2

は相加平均・相乗平均・調和平均不等式

　　Σｄ^2／Ｎ≧（Πｄ^2）^1/N＝（Πｄ）^2/N≧Ｎ／Σ１／ｄ^2

からも得られる．

　Σｄ^2を基準としてまとめると

　　　　　　　　　　ひとつの頂点から　　　すべての２頂点間

Σｄ^2　　　　　　　　≦２ｎ　　　　　　　　　≦ｎ^2

Πｄ　　≦（２ｎ／（ｎ−１））^(n-1)/2　　≦（２ｎ／（ｎ−１））^n(n-1)/4

Σ１／ｄ^2　　　　≧（ｎ−１）^2／２ｎ　　≦（ｎ−１）^2／４

（Σｄ）^2　　　　≦２ｎ（ｎ−１）　　　　≦ｎ^3（ｎ−１）／２

（Σ１／ｄ）^2　　≧（ｎ−１）^3／２ｎ　　≧ｎ（ｎ−１）^3／８

となり，等号が成り立つのは正単体のときであることがわかる．

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【２】２次元平面に退化した場合

　これらの不等式は次元を変えずに頂点数を変えることに対応しているが，不等式を拡張する方向としては一つには頂点の個数を増すこと，もう一つには次元を大きくすることである．頂点数を変えずに次元が変わるとき，場合によってはｄ次元多面体が一挙に２次元平面に退化し多角形になることもあるだろう．

　２次元正多角形では，

　　Σｄ^2＝２ｎ

　　Σｄ^2＝ｎ^2

の他に

　　Πｄ＝ｎ

　　Πｄ＝ｎ^n/2

　　Σ１／ｄ^2＝（ｎ^2−１）／１２

　　Σ１／ｄ^2＝ｎ（ｎ^2−１）／２４

が成り立つ．

　Σｄ^2を基準とする代わりに，Σ１／ｄ^2を基準としてまとめると，対応する不等式は，（Σｄ）^2≦ＮΣｄ^2の代わりに

　　（Σ１／ｄ）^2≦ＮΣ１／ｄ^2

になる．

　　（Σ１／ｄ）^2≦（ｎ−１）^2（ｎ＋１）／１２

　　（Σ１／ｄ）^2≦ｎ^2（ｎ−１）^2（ｎ＋１）／４８

　次に，

　　（Σｄ）・（Σ１／ｄ）≧Ｎ^2

を用いれば，

　　（Σｄ）^2≧１２（ｎ−１）^2／（ｎ＋１）

　　（Σｄ）^2≧３ｎ^2（ｎ−１）^2／（ｎ＋１）

が得られる．

　Σ１／ｄ^2を基準としてまとめると

　　　　　　　　　　ひとつの頂点から　　　すべての２頂点間

Σｄ^2　　　　　　　　≦２ｎ　　　　　　　　　≦ｎ^2

Πｄ　　　　　　　　　　≧ｎ　　　　　　　　　≧ｎ^n/2

Σ１／ｄ^2　　　　≦（ｎ^2−１）／１２　　≦ｎ（ｎ^2−１）／２４

（Σｄ）^2　≧１２（ｎ−１）^2／（ｎ＋１）　≧３ｎ^2（ｎ−１）^2／（ｎ＋１）

（Σ１／ｄ）^2　　≦（ｎ−１）^2（ｎ＋１）／１２　≦ｎ^2（ｎ−１）^2（ｎ＋１）／４８

不等式を使う限り，等号は正単体（正三角形）の場合に成立することになることを申し添えておきたい．

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