ｕ＝（１，１，・・・，１），ｖ＝（ｄ1，ｄ2，・・・，ｄN）

に対して，コーシー・シュワルツの不等式（ｕ・ｖ≦｜ｕ｜｜ｖ｜）を適用すれば，長さの総和の２乗と長さの２乗の総和の間に

　　（Σｄ）^2≦ＮΣｄ^2

　また，

　　ｕ＝（１／√ｄ1，１／√ｄ2，・・・，１／√ｄN），ｖ＝（√ｄ1，√ｄ2，・・・，√ｄN）

に対して，コーシー・シュワルツの不等式（ｕ・ｖ≦｜ｕ｜｜ｖ｜）を適用すれば，チェビシェフの不等式

　　（Σｄ）・（Σ１／ｄ）≧Ｎ^2

が得られる．

　したがって，長さの総和と長さの逆数の総和の間に

　　（Σｄ）^2・（Σ１／ｄ）^2≧Ｎ^4

が成り立つ．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｕ＝（１／ｄ1，１／ｄ2，・・・，１／ｄN），ｖ＝（ｄ1，ｄ2，・・・，ｄN）に対しては

　　（Σｄ^2）・（Σ１／ｄ^2）≧Ｎ^2

が成り立つ．

　ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離を考える場合はＮ＝ｎ−１，すべての２頂点間の距離を考える場合はＮ＝ｎ（ｎ−１）／２となるので，それぞれ

　　Σ１／ｄ^2≧Ｎ^2／Σｄ^2＝（ｎ−１）^2／２ｎ

　　Σ１／ｄ^2≧Ｎ^2／Σｄ^2＝（ｎ−１）^2／４

任意の次元の正単体のとき等号成立

　（その４５）に掲げた上限

　　Σ１／ｄ^2≦（ｎ^2−１）／１２

　　Σ１／ｄ^2≦ｎ（ｎ^2−１）／２４

と対をなす下限が得られたことになる．

　　（ｎ−１）^2／２ｎ≦Σ１／ｄ^2≦（ｎ^2−１）／１２

　　（ｎ−１）^2／４　≦Σ１／ｄ^2≦ｎ（ｎ^2−１）／２４

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　同様に，相加平均・相乗平均不等式

　　Σｄ^2／Ｎ≧（Πｄ^2）^1/N＝（Πｄ）^2/N

より，それぞれ

　　Πｄ≧（Σｄ^2／Ｎ）^N/2＝（２ｎ／（ｎ−１））^(n-1)/2

　　Πｄ≧（Σｄ^2／Ｎ）^N/2＝（２ｎ／（ｎ−１））^n(n-1)/4

任意の次元の正単体のとき等号成立．

　ｎ→∞のとき

　　（２ｎ／（ｎ−１））^(n-1)/2→２^(n-1)/2√ｅ

　　（２ｎ／（ｎ−１））^n(n-1)/4→２^n(n-1)/4・ｅ^n/4

　（その４５）に掲げた下限

　　Πｄ≧ｎ

　　Πｄ≧ｎ^n/2

と対をなす上限が得られたことになる．

　　ｎ≦Πｄ≦（２ｎ／（ｎ−１））^(n-1)/2

　　ｎ^n/2≦Πｄ≦（２ｎ／（ｎ−１））^n(n-1)/4

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