［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の積はｎに等しいは，

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のすべての２頂点間の距離の積はｎ^n/2に等しいと同値である．

　また，

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のすべての２頂点間の距離の平方和はｎ^2に等しいは，

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の平方和は２ｎに等しいと同値である．

　さらに，前者は２次元のみで成り立つ定理，後者は任意の次元で成り立つ定理があり，かなり紛らわしいものになった．ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の積（平方和）で統一した形で整理しておきたい．

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　正ｎ角形が半径１の円に内接している．２次元の場合，

［定理］ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の積はｎに等しい．

　　Πｄ＝ｎ

［定理］ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の平方の逆数の和公式

　　Σ１／ｄ^2＝（ｎ^2−１）／１２

［定理］ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の平方和は２ｎに等しい

　　Σｄ^2＝２ｎ

が成り立つ（この定理は高次元でも成り立つ）．

　等式の世界は面白いが，不等式の世界だって奥深いものがある．これらの間の相加平均・相乗平均・調和平均の不等式はどうなっているのだろうか？

　コーシー・シュワルツの不等式（ｕ・ｖ≦｜ｕ｜｜ｖ｜）を適用すれば，

［定理］距離の総和の２乗と距離の２乗の総和の間に

　　（Σｄ）^2≦（ｎ−１）Σｄ^2＝２ｎ（ｎ−１）＜２ｎ^2

が成り立つ．

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［１］相加平均・相乗平均不等式

　　Σｄ^2／（ｎ−１）＝２ｎ／（ｎ−１）

より，

　　｛２ｎ／（ｎ−１）｝^(n-1)≧ｎ^2

と同値である（ほぼ２^(n-1)≧ｎ^2と等価）．等号はｎ＝２，３のとき．

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［２］相乗平均・調和平均不等式

　　｛Πｄ^2｝^(1/(n-1))＝ｎ^(2/(n-1))

　　（ｎ−１）／Σ１／ｄ^2＝１２（ｎ−１）／（ｎ^2−１）＝１２／（ｎ＋１）

より，

　　ｎ^2≧｛１２／（ｎ＋１）｝^(n-1)

と同値である．等号はｎ＝２，３のとき．

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［３］相加平均・調和平均不等式

　　Σｄ^2／（ｎ−１）＝２ｎ／（ｎ−１）

　　（ｎ−１）／Σ１／ｄ^2＝１２（ｎ−１）／（ｎ^2−１）＝１２／（ｎ＋１）

より，

　　ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−１）≧６

と同値である．等号はｎ＝２，３のとき．

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［４］チェビシェフの不等式

　チェビシェフの不等式においてｂ＝１／ａと置くと

　　（Σａ）・（Σ１／ａ）≧ｎ^2

が証明される．

　たとえば，ｎ＝２のとき，

　　（ａ＋ｂ）（１／ａ＋１／ｂ）＝１＋ａ／ｂ＋ｂ／ａ＋１

　ａ／ｂ＋ｂ／ａ≧２より

　　（ａ＋ｂ）（１／ａ＋１／ｂ）≧４

　（Σａ）・（Σ１／ａ）≧ｎ^2

ではｎ^2個の項が得られるが，ｎ個の１と（ｎ^2−ｎ）／２個の項の対（各対は２以上）の分解されるから，全体の和は

　　≧ｎ＋（ｎ^2−ｎ）＝ｎ^2

になる．

　　Σ１／ｄ^2＝（ｎ^2−１）／１２

　　Σｄ^2＝２ｎ

では，

　　２ｎ・（ｎ^2−１）／１２≧（ｎ−１）^2

　　ｎ・（ｎ＋１）≧６（ｎ−１）

と同値である．等号はｎ＝２，３のとき．

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