三角形の面積を３等分する線の問題である．中川宏さんは一般の三角形の場合を扱ったが，正三角形ではどうなるのだろうか？

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　正三角形の１辺の長さを１とする（面積√３／４）．

［１］頂点と底辺を３等分する点を結んで３等分すると分割線の長さの合計は２√７／３＝１．７６３８３・・・となる．

［２］底辺と平行な線で切って，面積を３等分する場合，水平線の長さｘ，ｙとすると

　　√３／２ｘ^2＝√３／４・２／３　　　ｘ＝√（１／３）

　　√３／２ｙ^2＝√３／４・４／３　　　ｙ＝√（２／３）

したがって，水平線の長さの合計は（１＋√２）／√３＝１．３９３８５・・・となり［１］よりこの方が短い．

［３］ｘの中点と底辺の中点を結ぶ場合

　　ｘ＋１／２＝√（１／３）＋１／２＝１．０７７３５・・・

［４］ｙの中点と頂点を結ぶ場合

　　ｙ＋１／√２＝√（２／３）＋１／√２＝１．５２３６・・・

［５］重心と３頂点を結ぶ場合

　　３・√３／２・２／３＝√３＝１．７３２０５・・・

［６］重心と３辺の中点を結ぶ場合

　　３・√３／２・１／３＝√３／２＝０．８６６０２５・・・

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　直線によって面積を３等分する場合は［６］が最短長と思われるが，正三角形を３等分する最短長の曲線は何だろうか？

　正三角形を次々に辺について反転させて１頂点のまわりに６個集めて正六角形を作る（面積３√３／２）．そして，六角形の中心を中心とする円でこの面積を３等分する．円の半径をｘ，ｙとすると

　　πｘ^2＝√３／２

　　πｙ^2＝√３

　　ｘ＝（√３／２π）^(1/2)＝０．５２５０３８・・・

　　ｙ＝（√３／π）^(1/2)＝０．７４２５１６・・・

［７］ｘの中点と底辺の中点を結ぶ場合

　　πｘ／３＋√３／２−ｘ＝０．８９０８０５・・・

［８］ｙの中点と頂点を結ぶ場合

　　πｙ／３＋ｙ＝１．５２００８・・・

　円弧で分割したとしても［６］のほうが短いことがわかるだろう．

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