（Ｑ）正方形を最短長線で２等分せよ．

（Ａ）底辺に垂直な線で２等分すると垂線の長さは１，対角線で２等分すると長さは√２となる．一方，正方形を次々に辺について反転させて１頂点のまわりに４個集めて正方形を作る（面積４）．そして，正方形の中心を中心とする円でこの面積を２等分する．円の半径をｘとすると

　　πｘ^2＝２

　　ｘ＝（２／π）^(1/2)＝０．７９７８８５・・・

したがって，円弧の長さは

　　π／２（２／π）^(1/2)＝（π／２）^(1/2)＝１．２５３３１・・・

すなわち

　　１＜（π／２）^(1/2)＜√２

となり，垂線よりこのほうが長いことがわかる．

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　高次元の立方体の断面積に関するボールの不等式を紹介しよう．１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．

　また，（３次元）単位立方体の断面は，３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．

　２次元・３次元での問題は，４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともでき，ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，

　　１≦Ｖ≦√２

であることが，ボールによって証明されている（1986年）．

　ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点である．ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立するが，こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像される．

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