半径１の半球を底面と平行な平面ｙ＝ａで切って，体積を２等分するにはどこで切ればよいか−−−「まんじゅう等分問題」を解いてみよう．
y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる回転体の体積は
V[y]=π∫y^2dx
で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと
V[y]=π∫(1-x^2)dx
したがって，
π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3
が球全体の１／４になればよい．
π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3=π/3
a^3-3a+1=0
a=0.3472963553=2cos10
次に，半球の表面積を２等分するにはどこで切ればよいかの解も求めておこう．y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は
S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx
で与えられるから，y=(1-x^2)^(1/2)とおくと
S[y]=2π∫(0,a)dx=2πa=0.5/2･4π
より
a=0.5=sin30
と求められる．
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【１】球帽の面積
球面上の２点ｘ，ｙに対して，θ＝∠ｘｏｙを球面距離という．また，球面上の円を球帽という．ここでは点Ｐからの球面距離がθ（０≦θ≦π）であるような球面上の点全体の集合を考えるが，球面半径θの球帽の面積をＣ（θ）で表すことにすると，
Ｃ（θ）＝２π（１−ｃｏｓθ）
で与えられる．
（Ｑ）熱帯は緯度２３．５°の間の部分である．熱帯は地表の何％を占めるか？
（Ａ）ｓｉｎ２３．５°＝０．３９８７４（約４０％）
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【２】高次元球帽の面積
Ｓn-1球面上の２点ｘ，ｙに対して，θ＝∠ｘｏｙを球面距離という．また，球面上の円を球帽という．ここでは点Ｐからの球面距離がθ（０≦θ≦π）であるような球面上の点全体の集合を考えるが，球面半径θの球帽の面積をＣ（θ）で表すことにする．
(1)ｎ＝２のとき，Ｃ（θ）＝２θ
(2)ｎ＝３のとき，y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は
S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx
で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと
C[θ]=2π∫(cosθ,1)dx=2π(1-cosθ)
(3)ｎ＞３のとき
ｎ＞３は簡単には求められないが，x=(x1,x2,･･･,xn)を単位球面Ｓn-1上で一様分布する点とすると，xn^2の分布はベータ分布Beta(1/2,(n-1)/2)となることが証明されている．→コラム「高次元のパラドックスとスターリングの公式（その２）」参照
そこで，Ｓn-1球面の極（０，・・・，０，１）の周りに球面半径θの球帽を設けて，ここに含まれる確率を求めてみることにする．すなわち
Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：cosθ≦ｘn≦１｝
＝1/2Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：(cosθ)^2≦ｘn^2≦１｝
＝1/2（１−Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：０≦ｘn^2≦(cosθ)^2｝）
ベータ分布の確率密度関数は
ｆ（ｘ）＝ｘ^(p-1)（１−ｘ）^(q-1)／Β（ｐ，ｑ）
であるが，その分布関数は不完全ベータ関数と密接に関係していて，ガウスの超幾何関数2Ｆ1を使って以下のように表現される．
Ｆ（ｘ）＝１／ｐｘ^p2Ｆ1(p,1-q,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）
＝１／ｐｘ^p（１−ｘ）^q2Ｆ1(p+q,1,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）
Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：０≦ｘn^2≦(cosθ)^2｝＝Ｆ（(cosθ)^2）
であるから
Ｃ（θ）＝（Ｓn-1の面積）×（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２
と求められる．
球に相当するｎ次元の図形を超球と呼ぶ．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をｖnとすると，単位超球の表面積ｓn-1はｎｖnとなる．ただし，
ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
ｎ Ｖn ｎ Ｖn ｎ Ｖn
１ 2 ６ 5.168 11 1.884
２ 3.142 ７ 4.725 12 1.335
３ 4.189 ８ 4.059 13 0.911
４ 4.934 ９ 3.299 14 0.599
５ 5.264 10 2.550
なお，超球の体積はｎ＝５のとき最大であり，ｎが大きくなると急激に０に近づく．しかもそれは直径を１辺とする超立方体と比べて無視できるほど小さくなる．ｎｖnが最大になるのはｎ＝７のときである（１６π^3／１５）．
したがって，
Ｃ（θ）＝ｎｖn（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
p=1/2,q=(n-1)/2であるから，ベータ分布の確率密度関数と分布関数は
ｆ（ｘ）＝ｘ^(-1/2)（１−ｘ）^((n-3)/2)／Β（1/2，(n-1)/2）
Ｆ（ｘ）＝２ｘ^(1/2)（１−ｘ）^((n-1)/2)2Ｆ1(n/2,1,3/2,x)／Β（1/2，(n-1)/2）
とくに
(1)ｎ＝２のとき，ベータ分布は逆正弦分布
f(x)=1/π･{x(1-x)}^(1/2)
で，Ｕ字型の形状をとる．対応する累積分布関数は
F(x)=2/π･arcsin(x^(1/2))
となるから，
Ｆ（(cosθ)^2）＝１−２θ／π
より
Ｃ（θ）＝２θ
(2)ｎ＝３のとき，ベータ分布はベキ乗分布
f(x)=1/2･x^(-1/2)
でＪ字型分布となる．分布関数は
F(x)=x^(1/2)
であるから
Ｆ（(cosθ)^2）＝ｃｏｓθ
より
Ｃ（θ）＝２π（１−ｃｏｓθ）
となって前述の式に一致する．
(3)ｎ＞３のとき，Ｃ（θ）を簡潔な形に表すことはできない．
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【３】球面距離の分布関数と確率密度関数
Ｃ（θ）／（Ｓn-1の面積）＝Ｃ（θ）／ｎｖnはθの分布関数であるから，θで微分すると，球面距離θの確率密度関数が得られる．
(1)ｎ＝２のとき，Ｃ（θ）＝２θ
θの分布関数：θ／π
θの確率密度関数：１／π
θの平均値：∫(0,π)θ／πｄθ＝π／２
(2)ｎ＝３のとき，Ｃ（θ）＝２π（１−ｃｏｓθ）
θの分布関数：（１−ｃｏｓθ）／２
θの確率密度関数：ｓｉｎθ／２
θの平均値：∫(0,π)θｓｉｎθ／２ｄθ＝π／２
(3)ｎ＞３のとき，Ｃ（θ）＝ｎｖn（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２
θの分布関数：（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２
θの確率密度関数：(ｓｉｎθ)^(n-2)／Β（1/2，(n-1)/2）
θの平均値：∫(0,π)θ(ｓｉｎθ)^(n-2)ｄθ／Β（1/2，(n-1)/2）＝π／２
［参］1/2Ｂ（ｐ，ｑ）＝∫(0,π/2)(sinθ)^(2p-1)(cosθ)^(2q-1)dθ
∫(0,π/2)(sinθ)^(n-2)dθ＝1/2Ｂ((n-1)/2),1/2)
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