定規とコンパスだけで正３角形，正４角形，正６角形，正８角形が作図できることは簡単にわかりますが，辺の数５，７，９の場合はどうでしょうか．正５角形は古代ギリシャにおいて作図可能であることが発見されました．となれば，次に正７角形・正９角形の作図は？と考えるのは自然な成り行きでしょう．ところが，かのアルキメデスでさえも正７角形・正９角形の作図に成功しなかったといわれています．
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【１】近似的な内接正７角形の作図
内接正多角形の作図は画家であり建築家であるレオナルド・ダ・ヴィンチの関心を惹きました．しかし，彼でさえ近似的な内接正七角形の作図を正確なものと思っていたようです．
円Ｏに内接する近似正７角形の作図の手順は
［１］直径ＡＢを引く
［２］直径ＡＢを７等分し，その等分点を１，２，・・・，６とする
［３］ＡＢを１辺とする正三角形の頂点となる点Ｃを求める
［４］点Ｃと点５を結び，その延長と円が交わる点をＤとする
［５］ＢＤが正７角形の１辺の長さとなる
点Ｃ（−√３，０），点５（３／７，０）を結ぶ直線は
ｙ＝７／√３・ｘ−√３
ｘ^2＋ｙ^2＝１に代入すると
ｘ^2＋４９／３・ｘ^2−１４ｘ＋３＝１
５２／３・ｘ^2−１４ｘ＋２＝０
２６ｘ^2−２１ｘ＋３＝０
ｘ＝（２１＋√１２９）／５２＝０．６２２６６
一方，
ｃｏｓ（２π／７）＝０．６２３４９
と近似度は高いことがわかる．
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【２】近似的な内接正９角形の作図
同様の作図法で，直径ＡＢを９等分すれば，近似正９角形を作図できる．すなわち，円Ｏに内接する近似正９角形の作図の手順は
［１］直径ＡＢを引く
［２］直径ＡＢを９等分し，その等分点を１，２，・・・，８とする
［３］ＡＢを１辺とする正三角形の頂点となる点Ｃを求める
［４］点Ｃと点７を結び，その延長と円が交わる点をＤとする
［５］ＢＤが正９角形の１辺の長さとなる
点Ｃ（−√３，０），点７（５／９，０）を結ぶ直線は
ｙ＝９√３／５・ｘ−√３
ｘ^2＋ｙ^2＝１に代入すると
ｘ^2＋２４３／２５・ｘ^2−５４／５・ｘ＋３＝１
１３４ｘ^2−１３５ｘ＋２５＝０
ｘ＝（１３５＋√４８２５）／２６８＝０．７６２９１９
一方，
ｃｏｓ（２π／９）＝０．７６６０４５
と近似度は高いことがわかる．
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【３】近似的な内接正５角形の作図
同様の作図法で，直径ＡＢをｎ等分すれば，近似正ｎ角形を作図できる．ｎ＝３，４，６以外は近似法である．
円Ｏに内接する近似正５角形の作図の手順は
［１］直径ＡＢを引く
［２］直径ＡＢを５等分し，その等分点を１，２，・・・，４とする
［３］ＡＢを１辺とする正三角形の頂点となる点Ｃを求める
［４］点Ｃと点３を結び，その延長と円が交わる点をＤとする
［５］ＢＤが正５角形の１辺の長さとなる
点Ｃ（−√３，０），点７（１／５，０）を結ぶ直線は
ｙ＝５√３・ｘ−√３
ｘ^2＋ｙ^2＝１に代入すると
ｘ^2＋７５ｘ^2−３０ｘ＋３＝１
３８ｘ^2−１５ｘ＋１＝０
ｘ＝（１５＋√７３）／７６＝０．３０９７９
一方，
ｃｏｓ（２π／９）＝０．３０９０１８
と近似度は高いことがわかる．
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【４】内接正３角形の作図
円Ｏに内接する近似正３角形の作図の手順は
［１］直径ＡＢを引く
［２］直径ＡＢを３等分し，その等分点を１，２とする
［３］ＡＢを１辺とする正三角形の頂点となる点Ｃを求める
［４］点Ｃと点１を結び，その延長と円が交わる点をＤとする
［５］ＢＤが正３角形の１辺の長さとなる
点Ｃ（−√３，０），点１（−１／３，０）を結ぶ直線は
ｙ＝−３√３・ｘ−√３
ｘ^2＋ｙ^2＝１に代入すると
ｘ^2＋２７ｘ^2＋１８ｘ＋３＝１
１４ｘ^2＋９ｘ＋１＝０
ｘ＝−１４／２８＝−０．５
一方，
ｃｏｓ（２π／３）＝−０．５
となって精確な作図法であることがわかる．ｎ＝４，６も同様である．
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