正５角形の作図問題については，円分多項式から条件を満たす代数方程式が直接計算できるが，着眼点を変えてみよう．

　すると，対角線の長さの積と２乗の和に関する２つの定理

［定理１］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積はｎに等しい．

が成り立つ．

［定理２］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの平方和は２ｎに等しい．

から，初等的に求めるという工夫が可能になる．

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【１】円分多項式

　　ｚ^5−１＝（ｚ−１）（ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１）＝０

　ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１＝０，ｚ≠０より，両辺をｚ^2で割ると

　　ｚ^2＋１／ｚ^2＋（ｚ＋１／ｚ）＋１＝０

　　（ｚ＋１／ｚ）^2＋（ｚ＋１／ｚ）−１＝０

　Ｘ＝ｚ＋１／ｚとおくと，

　　Ｘ^2＋Ｘ−１＝０，Ｘ＝（−１±√５）／２

　　Ｘ^2＝（３±√５）／２，ｘ^2−４＝（−５±√５）／２

　　ｚ^2−Ｘｚ＋１＝０，ｚ＝（Ｘ±√（Ｘ^2−４）／２

より，

　　ｚ＝（−１＋√５）／４＋ｉ｛（５＋√５）／２｝^1/2／２

　　ｚ＝（−１−√５）／４＋ｉ｛（５−√５）／２｝^1/2／２

の２虚根が得られる．前者はｔａｎ（２π／５），後者はｔａｎ（４π／５）に対応している．

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【２】対角線の長さの積と２乗の和に関する定理

　辺の長さをｘ，対角線の長さをｙとすると（ｘ＜ｙ），

　　［定理１］→ｘ^2ｙ^2＝５

　　［定理２］→２ｘ^2＋２ｙ^2＝１０，ｘ^2＋ｙ^2＝５

　x^2、ｙ^2は２次方程式

　　Ｘ^2−５Ｘ＋５＝０

の２実根であるから，

　　ｘ^2＝（５−√５）／２，ｙ^2＝（５＋√５）／２

すなわち，（複）２次方程式の範囲内で（ｘ，ｙ）が求まる．

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【３】円に内接する正５角形の作図

　円分多項式は正５角形の中心角２π／５を求めるもの，対角線の長さの積と２乗の和に関する定理を用いるものは正５角形の１辺の長さを求めるものである．

　円Ｏに内接する正５角形の作図の手順は

［１］直径ＡＢを引く

［２］ＡＢを垂直二等分線を引き，円Ｏとの交点をＣとする

［３］ＡＢを垂直二等分線を引き，ＡＯとの交点をＤとする

［４］Ｄを中心とする半径ＤＣの円弧を描き，ＡＢとの交点をＥとする

［５］Ｃを中心とする半径ＣＥの円弧を描き，円Ｏとの交点をＦとする

［６］ＣＦが正５角形の１辺の長さとなる

であるが，

　　ＤＣ＝√５／２

　　ＣＥ＝｛（５−√５）／２｝^1/2＝ｘ（１辺の長さ）

になっているというわけである．

　職場のＵ嬢とＭ師がこの作図にチャレンジしたが，誤差が累積し正５角形の始点と終点がなかなか一致しない．作図方法に誤りがあるのではないかと不服そうだったが，簡単な計算によって作図方法は正しいことが確認された．

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