【１】フェドロフの平行多面体

　１種類のブロックを使って，空間を隙間なく埋め尽くすにはどうすればいいだろうか？　レンガはそのひとつの答えなのであるが，どんな形のブロックなら空間を埋め尽くせるだろうか？　そのようなブロックをすべて求めよという問題ならこれは大変な難問である．

　そこで，平行多面体に限定して考えてみよう．平行多面体とは辺が平行（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），面が平行，そして平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体である．

　平行多面体は立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかない．これら５種類の図形（フェドロフの平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であって，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる．

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【２】ペンタドロン（平行多面体の元素の形）

　５種類ある平行多面体を平行多面体に分割する仕方は，１０２通り（それ自身も含めれば１０７通り）あり，平行六面体１，６角柱１，菱形１２面体４，長菱形１２面体６，切頂８面体５ピース，計１７ピースを使えばすべての平行多面体を作ることができることが知られている．それでは１種類の凸多面体ピースを使ってすべての平行多面体を作ることができるだろうか？

　裏返し（鏡映対称）の多面体は同一視するが，平行多面体ではたった１種類ですべての平行多面体を充填するような元素が存在するのである．

　　［秋山の定理：２００８］平行多面体の元素数は１である．

　その５面体ピースをσで表し，ペンタドロンと呼ぶことにするが，立方体はσ12（σ96），６角柱はσ144，菱形１２面体はσ192，長菱形１２面体はσ384，切頂８面体はσ48という分子構造になっている．ここで，立方体，菱形１２面体，切頂８面体は直で等辺であるが，６角柱はskewした，長菱形１２面体は不等辺の平行多面体となる．

　分子量が最大の長菱形１２面体σ384の中にほかの４種類の分子構造が埋め込まれている．一方，分子量が最小なものは切頂８面体のσ48であるが，切頂８面体には分子量が最小になる理由がある．

　平面充填図形の基本形は６角形であり，６角形の１組の対辺を退化させると４角形になる．２次元の場合のアナロジーで，フェドロフの平行多面体を考えると，フェドロフの平行多面体のうち面数が最大の多面体は切頂８面体であるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．

　すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えられる．切頂８面体の１／４８がペンタドロンとなる所以である．

［補］１種類の図形による空間充填形がもっと高い次元の立方格子の射影であるというのは本質的に正しいようである．なお，５種類ある平行多面体の元素数は１であるが，同じく５種類ある正多面体の元素数は４であることが証明されている．

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【３】ペンタドロンの物理的意義

　立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについてはこれ以上説明するまでもないだろう．立方体以外の単一多面体による空間充填体としては，菱形十二面体や切頂八面体がよく知られている．両者はしばしば対比され，どちらも単独で空間充填可能な立体図形であるが，菱形十二面体が面心立方格子（立方体の８個の頂点と６個の面の中心に原子が配置されている構造）のボロノイ図（隣り合った２点を結ぶ線分の垂直二等分面を次々に引いていくことによりできる多面体パターン）であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子（立方体の８個の頂点と重心原子が配置されている構造）のボロノイ図となっている．結晶格子には面心立方格子，体心立方格子，単純立方格子，六方晶格子などの別があるが，結晶の骨格の基本形はフェドロフの平行多面体に限定されるといってよいのである．

　ところで，結晶格子は不変ではなく，たとえば金属結晶に鍛冶（鍛造冶金）を施すと面心立方格子から体心立方格子に移行する（相転移）．その途中，単純立方格子を経由しているという説もある．もちろん個々の原子の振る舞いを直接確認することはできないが，その状態移行では空間の連続的な運動が起こらなければならない．

　このことから，面心立方格子（菱形１２面体），体心立方格子（切頂８面体），単純立方格子（立方体）を仲介する多面体が存在するはずであると考えるのは自然な発想であろう．さらに６角柱と長菱形１２面体も含め，平行多面体全体にまで拡張して，それらをすべて仲介する多面体を求めたい．そこで，

［Ｑ］１種類のブロックを使って，５種類あるフェドロフの平行多面体を隙間なく埋め尽くす

という設問が派生するのである．

　もう一度発想の原点に戻るが，球形の素材を型に詰め込んでおいて，それをぎゅっとつぶすという過程を考えてみる．結晶化の過程では，実際，このようなことが起こっていると考えられるが，その場合，最密充填から最疎被覆には球の中心点が面心立方格子から対心立方格子に移行しなければならない．このような移行はどのようにしたら可能になるのだろうか？　連続的それとも飛躍的におこなわれるのだろうか？　最密充填から最疎被覆への状態移行では，球の並進運動と同時に空間の連続的な回転運動が起こらなければならないが，当該の多面体σは最密充填と最疎被覆の間の相転移のメカニズムをある程度解き明かしてくれるはずである．

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