定規とコンパスだけで正３角形，正４角形，正６角形，正８角形が作図できることは簡単にわかりますが，辺の数５，７，９の場合はどうでしょうか．正５角形は古代ギリシャにおいて作図可能であることが発見されました．となれば，次に正７角形の作図は？と考えるのは自然な成り行きでしょう．ところが，かのアルキメデスでさえも正７角形の作図に成功しなかったといわれています．また，内接正多角形の作図は画家であり建築家であるレオナルド・ダ・ヴィンチの関心を惹きました．しかし，彼でさえ近似的な内接正七角形の作図を正確なものと思っていたようです．誰もが正七角形の作図問題に取り組んできたのです．

　辺数３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６の正多角形は作図できますが，辺数７，９，１１，１３，１４の正多角形は作図できないことから，正１７角形もそうであろうと推察されます．ところが，１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつきました．正七角形の作図は不可能で，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．

　正７角形も正９角形も作図できないのに，まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが，このことを用いると，ｍ＝０のとき正３角形，ｍ＝１のとき正５角形，ｍ＝２のとき正１７角形となり，作図可能であることがわかります．当然，ずっと面倒になるでしょうが，正２５７角形（ｍ＝３），正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です．次に興味があるのはｎ＝正４２９４９６７２９７角形（ｍ＝５）の場合ですが，あいにくこれは合成数です（フェルマーはこれが素数かどうかは示せなかった）．

　２2^m＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．フェルマー素数はガウスによって１世紀にわたる眠りから覚まされ，数論と幾何学に新たな美しさを吹き込んだことになります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｍ＝５のときは素数ではなく，現在，ｍ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．６番目のフェルマー素数の探索がコンピュータを使ってなされていますが，はたして本当に存在するのでしょうか．

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　正ｎ角形の作図において，ｎは異なるフェルマー素数か２のベキ乗との積

　　ｎ＝２^kΠＦm

でなければなりません．したがって，

［１］ｎ＝２，３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６，１７，２０，２４，３０　→　作図可能

［２］ｎ＝７，９，１１，１３，１４，１８，１９，２１，２２，２３，２５　→　作図不可能

となって，幾何学的に解ける正奇数角形は，２^5−１＝３１通り，最大

　　３・５・１７・２５７・６５５３７＝４２９４９６７２９５

角形まであります．

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　正多角形の作図は円周等分問題という幾何学問題ですが，ｘ^n −１＝０という代数方程式の解と密接な関係にあります．また，定規とコンパスで描ける図形は直線と円ですから，その作図は線分の長さの加減乗除と平方根をとる操作に相当します．すなわち，定規（直線）とコンパス（円）による作図は，たとえそれらを繰り返し用いたとしても，＋，−，×，÷，√なる５つの演算によって得られるものに限られています．

　　ｚ^2−１＝（ｚ−１）（ｚ＋１）

　　ｚ^3−１＝（ｚ−１）（ｚ^2＋ｚ＋１）

　　ｚ^4−１＝（ｚ^2−１）（ｚ^2＋１）

は２次方程式に帰着できますが，ｎ＝５の場合

　　ｚ^5−１＝（ｚ−１）（ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１）

の右辺には４次方程式があるので，一見不可能に見えますが，２次以下に因数分解できます．ｚ＋１／ｚ＝ｘとおけばよいのです．正５角形の作図は黄金比と関連していて，２次方程式：ｘ^2 −ｘ−１＝０を解く，すなわち（√５＋１）／２を求めることによって可能となりました．ギリシャ人は黄金分割を用いた見事な方法で正五角形の作図に成功したのですが，この方法は二次方程式の幾何学的解法を利用した賢明な方法といえます．

［補］ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式

　　ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^8でわり，

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）

と変数変換すると２次方程式

　　ｙ^2＋ｙ−１＝０

に帰着され，

　　ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）

　　ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４

が得られる．→コラム「初等幾何の楽しみ（その２３）」参照

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　　ｚ^6−１＝（ｚ^2）^3−１

　　ｚ^8−１＝（ｚ^2）^4−１

なので，それぞれ正三角形，正方形に対する角度を求め，それを二等分することによって幾何学的に解けます．

　　ｚ^9−１＝（ｚ^3）^3−１

は正三角形に対する角度を求め，それを三等分する必要がありますが，これは不可能です．

　　ｚ^7−１＝（ｚ−１）（ｚ^6＋ｚ^5ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１）

も幾何学的に解くのは無理です．正７角形，正９角形はそれぞれ３次方程式：ｘ^3 ＋ｘ^2 −２ｘ−１＝０，ｘ^3 −３ｘ＋１＝０に帰着します．したがって，正７角形，正９角形の作図のように３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けません．

　ｎ＝１０〜１４は省略．ｎ＝１５は２つの異なるフェルマー数の積です．実際，正三角形（１２０°）と正五角形（７２°）の差４８°の半分として正十五角形（２４°）を幾何学的に作ることができます．ｎ＝５１，８５，３５５も異なるフェルマー数の積で作図可能です．

　ｎ＝１７の場合は，ｎ＝５の場合にもう１ステップ要しますが，全く同様に得ることができます．

［補］１６次方程式

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^8でわり，

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／１７）

と変数変換をし，最後に２次方程式に帰着させると失敗する．

　　ｚ＝ｘ^4＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^4

　　ｗ＝ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^2＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^2＋１／ｘ^4＋１／ｘ^8

と変数変換する手がある．

　　ζ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

　　ｙ＝ζ＋ζ^-1＝２ｃｏｓ（２π／１７）

　　ｙ’＝ζ^4＋ζ^-4

　　ｚ＝ζ＋ζ^4＋ζ^-1＋ζ^-4

　　ｚ’＝ζ^2＋ζ^8＋ζ^-2＋ζ^-8

　　ｗ＝ζ＋ζ^2＋ζ^4＋ζ^8＋ζ^-1＋ζ^-2＋ζ^-4＋ζ^-8

　　ｗ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^6＋ζ^7＋ζ^-3＋ζ^-5＋ζ^-6＋ζ^-7

とおく．

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

より，ｗ＋ｗ’＝−１，ｗｗ’＝−４となるから，ｗはｘ^2＋ｘ−４＝０の根．　　ｗ＝（√１７−１）／２＝１．５６１５５

　同様に，

　　ｚ＋ｚ’＝ｗ，ｚｚ’＝−１となるから，ｚはｘ^2−ｗｘ−１＝０の根．　　ｚ＝（ｗ＋√（ｗ^2＋４））／２＝（−１＋√１７＋√（３４−２√１７））／４＝２．０４９４８

　　ｙ＋ｙ’＝ｚ，ｙｙ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^-3＋ζ^-5＝ｚ”，ｚ”’＝ζ^6＋ζ^7＋ζ^-6＋ζ^-7とおくと，

　　ｚ”＋ｚ”’＝ｗ’，ｚ”ｚ”’＝−１

となるから，ｚ”はｘ^2−ｗ’ｘ−１＝０の根．

　　ｚ”＝（−１−√１７＋√（３４＋２√１７））／４

　ｙはｘ^2−ｙｘ＋ｙ”＝０の根より，

　　ｙ＝２ｃｏｓ（２π／１７）＝１／８｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝＝１．８６４９４

が得られる．→コラム「初等幾何の楽しみ（その２４）」参照

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　アルキメデスは円柱とそれに内接する球の体積比が３：２であることを発見した記念に，自分の墓の上に円柱の形をした記念碑をおくように遺言したといわれています．アルキメデスと同じように，ガウスは正１７角形を墓石に彫るよう遺言しています．このことはガウス自身がその発見をいかに重視したかを物語っています．数々の大発見をしたガウスですが，１９才の青年がアルキメデスをもってしてもできなかった古代ギリシア以来２０００年の謎を解いたのですから，まさに驚きとしかいいようがありません．この正１７角形の作図は彼を本格的に数学の道に入らせるきっかけとなったといわれています．

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