（Ｑ）ｒ（ｎ）はｎを２個の互いに素な数の積で表す方法の数とする．もし，ｎはｔ個の異なる素数で割り切れるならば，ｒ（ｎ）＝２^tである．

　　Σｒ（ｎ）／ｎ^2

を求めよ．

（Ａ）求める和は，すべての素数をわたる無限積

　　Π（１＋２／ｐ2＋２／ｐ4＋・・・）＝Π（１＋２／（ｐ^2−１））＝Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

になる．

　オイラーの証明は次の通り．

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝Π（ｐ^2＋１）（ｐ^2−１）／（ｐ^2−１）^2＝Π（１−１／ｐ4）／（１−１／ｐ^2）^2＝ζ（２）^2／ζ（４）

ここで，

　　ζ（２）＝π^2／６，ζ（４）＝π^4／９０

より，

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／２

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（Ｑ）Ｐは完全ベキ乗数の集合である．

　　Ｐ＝｛ｍ^n｜ｍはＰに含まれない｝＝｛４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

　ｋをＰの要素とするとき，すべての完全ベキ乗数をわたる無限和

　　Σ１／（ｋ−１）＝１／２＋１／７＋１／８＋１／１５＋１／２４＋１／２６＋１／３１＋１／２５＋・・・＝１　　　（ゴールドバッハの定理）

を証明せよ．

（Ａ）求める和は，等比級数の和に展開するとΣｋ^-lに等しい．順序対（ｍ，ん）と（ｋ，ｌ）は１体１対応するので，ｍ^n＝ｋ^l．したかって，ゴールドバッハの和は，

　　Σｍ^-n＝Σ１／ｍ（ｍ−１）＝１

に等しい．

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