（問）直線をｎ個の点で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）

（問）平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７，

　　Ｓ4＝１１，Ｓ5＝１６，Ｓ6＝２２，Ｓ7＝２９，

　　Ｓ8＝３７，Ｓ9＝４６，Ｓ10＝５６，・・・

（問）空間をｎ枚の平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＝（ｎ3＋５ｎ＋６）／６

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，

　　Ｓ4＝１５，Ｓ5＝２６，Ｓ6＝４２，Ｓ7＝６４，

　　Ｓ8＝９３，Ｓ9＝１３０，Ｓ10＝１７６，・・・

　一般に，

（問）ｍ次元空間をｎ枚の超平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＋・・・＋（ｎ，ｍ）

となるが，これらの問題は二項係数で表現するときれいなパターンになる．

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（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

　実はこの問題は

（問）平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか

と等価になる．

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

（問）１つの球をｎ個の面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数はいくつになるか？

　この問題も

（問）空間をｎ枚の平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか

に等価で，答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＝（ｎ3＋５ｎ＋６）／６

　新しくナイフを入れて増加する３次元領域の数は，新しい平面上にそれがそれまでの平面と交わってできる２次元領域の数に等しいからである．

　立方体にナイフを６回入れる場合は２７個の小さい立方体を作ることができるが，形にこだわらなければ最大４２個の断片にできるというわけである．

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