ｎγ＝［ｎγ］＋｛ｎγ｝

において，ワイルの一様分布定理とは，無理数γを与えたとき，ｎγの非整数部分｛ｎγ｝，ｎ^2γの非整数部分｛ｎ^2γ｝のｎ＝１，２，３，・・・としたときの分布についての定理で，

［１］γが無理数であれば｛ｎγ｝は区間［０，１）において一様分布する

［２］γが無理数であれば｛ｎ^2γ｝は区間［０，１）で一様分布する

　レイリーの定理（ヴィノグラードフの定理）とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．

　１／α＋１／β＝１→β＝α／（α−１）より，αとβは両方とも有理数か両方とも有理数のどちらかですか，両方とも無理数のとき，整数を分割するわけです．すなわち，実数αのスペクトルを，整数の集合

　　Ｓｐｅｃ（α）＝｛［α］，［２α］，［３α］，・・・｝α

で定義すると，α，βが無理数で１／α＋１／β＝１を満たすとき，そのときに限り，Ｓｐｅｃ（α）とＳｐｅｃ（β）は整数を分割するのですが，それでは，

（Ｑ）Ｓｐｅｃ（α），Ｓｐｅｃ（β），Ｓｐｅｃ（γ）が整数を分割するような実数α，β，γは存在するでしょうか？

（Ａ）不可能（存在しない）．

　レイリーの定理は，

　　１／α＋１／β＋１／γ＝１

かつ

　　｛（ｎ＋１）／α｝＋｛（ｎ＋１）／β｝＋｛（ｎ＋１）／γ｝＝１

のとき，そのときに限り３分割が起こることを示している．

　しかし，ワイルの一様分布定理から，δが無理数のとき，｛（ｎ＋１）／δ｝の平均値は１／２である→矛盾．δが有理数（ｍ／ｎ）ならば，平均値は３／２−１／（２ｎ）→矛盾．δが整数の場合もうまくいかない．すなわち，存在しないことを示している．

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