【１】補遺

　１９４７年，ミルはある定数Ａが存在し，すべてのｎに対して素数だけしか与えない公式

　　ｐn＝［Ａ^3^n］

を示した．

　　１．３０６３７７８８３８６３＜Ａ＜１．３０６３７７８８３８６９

　　ｐ1＝２，ｐ2＝１１，ｐ3＝１３６１，ｐ4＝２５２１００８８８７

　一見不可能のように思えるが，実はこの式から作り出されるすべての素数は定数Ａのなかにそっと埋め込まれている．定数Ａを決定するには素数に関する予備知識が必要になるが，予備知識なしでもわかるように「埋め込み」をたとえ話で説明すると，定数Ａは素数が陽に埋め込まれた実数の定数

　　Ｂ＝０．２０３０００５０００００００７００００００００００００００１１０・・・

のようなものである．

　この数に１０を掛けて整数の部分を取り出すと最初の素数２が取り出される．次に，１００を掛けて整数の部分を取り出すと２番目の素数３が取り出される．一般に，ｎ番目の素数が取り出された後，１０^2^nを掛けて整数の部分を取り出すとｎ＋１番目の素数が取り出される．いいかえれば，定数Ｂの中に埋め込まれていない素数を生成することはできないというわけである．

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【２】素数を表さない公式

　たとえば，１００万個の整数の中に素数が１個も存在しない式は

　　（１０^6＋１）！＋ｎ　　　（ｎ＝２〜１０００００１）

であり，これらはすべて合成数になる．ｎ番目の素数をｐnとすると

　　ｐ1ｐ2・・・ｐn＋２とｐ1ｐ2・・・ｐn＋ｐn-1−１

の間にある数もすべて合成数である．

　一方，ｎ＜ｐ≦２ｎの間には常に１個の素数がある（１８４５年のベルトラン仮説を１８５０年，チェビシェフが証明した）．直接，素数定理から漸近表現を求めると

　　π（２ｎ）−π（ｎ）＝２ｎ／ｌｎ（２ｎ）−ｎ／ｌｎ（ｎ）

となる．

　あるいは同じことであるが，各素数はその前の素数の２倍より小さい．

　　ｐk+1＜２ｐk

ｎ番目の素数は

　　ｐn〜ｎｌｎ（ｎ）

であるから，漸近的に２ｎとｎ^2の間に位置する．したがって，素数は偶数よりは少ないが平方数よりは多い．

　もっとよい近似では

　　ｌｎｘ−３／２＜ｘ／π（ｘ）＜ｌｎｘ−１／２

　　ｎ（ｌｎ（ｎ）＋ｌｎｌｎ（ｎ）−３／２）＜ｐn＜ｎ（ｌｎ（ｎ）＋ｌｎｌｎ（ｎ）−１／２））

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