ｎ番目の調和数を
Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ
と定義すると，Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,･･･,Ｈ∞=∞となります．（ｎ＞１ならばＨn は整数にはなりません．）
今回のコラムでは，調和級数の和
ΣＨn
を求めることにしますが，まずその前に・・・
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【１】調和級数の発散
調和級数
Ｈ∞＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・
は，はじめの１０００項で７．４８５，１００万項で１４．３９３，１０億項で２１．３，１兆項で２８．２と非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散します．調和級数が発散することは容易に示すことができます．
１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２
１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２
・・・・・
したがって，
Ｈ∞＞１＋１／２＋１／２＋１／２＋１／２＋・・・→∞
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調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，
１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞
は容易に示すことができしたが，奇数項だけを集めて作った級数は，調和級数よりも増加の速度は遅い者の合算します．
１／１ ＋１／３ ＋１／５ ＋１／７ ＋・・・
＞１／２＋１／４＋１／６＋１／８＋・・・
＝１／２（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）→∞
同様に，偶数項だけ集めて作った級数も収束せず無限大に発散します．
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【２】調和級数の和
ここで，ｎ番目までの調和数の和を
ΣＨk ＝Ｈ1＋Ｈ2＋Ｈ3＋Ｈ4＋・・・＋Ｈn
＝ １
＋１＋１／２
＋１＋１／２＋１／３
＋１＋１／２＋１／３＋１／４
・・・・・・・・・・・・・・
＋１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ
と並べ替え，縦方向に沿って和をとると，
＝ ｎ＋（ｎ−１）／２＋（ｎ−２）／３＋・・・＋１／ｎ
＝ （ｎ−１）／１＋（ｎ−２）／２＋（ｎ−３）／３＋・・・＋（ｎ−ｎ）／ｎ＋（１＋１／２＋・・・・＋１／ｎ）
＝ ｎＨn−ｎ
さらに，
ΣｋＨk ＝ｎ（ｎ−１）／２Ｈn−ｎ（ｎ−１）／４
一般に
Σ（ｋ、ｍ）Ｈk ＝（ｎ，ｍ＋１）（Ｈn−１／（ｍ＋１））
ΣＨk／ｋに対しては，
ΣＨk ／ｋ＝１／２（（Σ１／ｋ）^2＋Σ（１／ｋ^2））
＝１／２（Ｈn^2＋Σ（１／ｋ^2））＝１／２（Ｈn^2＋Ｈn^(2)）
と求められる．また，
ΣＨk^(2) ＝（ｎ＋１）Ｈn^(2)−Ｈn
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【３】調和級数の漸近近似式とオイラーの定数
Ｈn 〜ｌｎ（ｎ）＋γ＋１／（２ｎ）−１／（１２ｎ^2｝＋１／（１２０ｎ^4）＋Ｏ（１／ｎ^6）
ｎを無限大にしたとき，調和級数
Ｈ∞＝ １／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・
は発散しますが，そのｎ次部分和Ｈnは離散的な世界で連続関数ｌｎｎに対応するものであり，自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できます．
したがって，双曲線ｙ＝１／ｘを上と下から棒グラフではさんで近似することにより，ｌｏｇｎとｌｏｇｎ＋１の間に押し込まれまれることがわかります（∵∫１／ｘｄｘ＝ｌｏｇｘ）．このことより，Ｈn とｌｏｇｎの比｛Ｈn ／ｌｏｇｎ｝は
Ｈn ／ｌｏｇｎ→１ （ｎ→∞）
です．
一方，Ｈn とｌｏｇｎの差｛Ｈn −ｌｏｇｎ｝は確定した極限値γに収束します．
Ｈn −ｌｏｇｎ→γ （ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋Ｏ（１／ｎ））
Ｈn −ｌｏｇｎ→γ （ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋ｏ（１））
この極限値はオイラーの定数として知られており，約０．５７７２２になります．オイラーの定数の比較的よい近似値は４／７で，さらによい近似値は４１／７１で与えられます．
Ｈn は上限と下限の間の約５８％のところにあることがわかりましたが，今日に至るまで，オイラーの定数の値は有理数とも無理数ともわかっていません．おそらく，超越数なのでしょう．
また，オイラーの定数γを極限値ｌｉｍ（Σ１／ｋ−ｌｎｎ）を直接計算するのは収束が遅くて非効率的です．そこで，
ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ2／２＋ｘ3／３−ｘ4／４＋・・・
ｌｏｇ（１＋１／ｘ）＝１／ｘ−１／（２ｘ2）＋１／（３ｘ3）−１／（４ｘ4）＋・・・
より
ｌｏｇΓ（１＋ｓ）＝−γｓ＋ζ（２）／２ｓ^2−ζ（３）／３ｓ^3＋・・・
これを用いると
γ＝ζ（２）／２−ζ（３）／３＋ζ（４）／４−ζ（５）／５＋・・・
あるいは
γ＝１−１／２（ζ（２）−１）−１／３（ζ（３）−１）−１／４（ζ（４）−１）−・・・
などと書けることになります．これらの無限級数はかなり速く収束します．
なお，素数の逆数の和Σ（１／ｐ）については
ｌｉｍ｛Σ（１／ｐ）−ｌｏｇｌｏｇｎ｝→０．２６１４９・・・
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