「カオス」という語は日常に使う意味とは対照的に，自然科学の中では特定の意味「無秩序の中に存在する秩序」をもっています．すなわち，カオスの本質は
ａ）完全に非周期性でかつ完全に決定論的であること
ｂ）初期値の選び方に大きく依存すること
であって，乱雑（ランダム）との間には明確な一線で画されます．
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【１】周期３はカオスを意味する（リー・ヨークの定理）
１９７６年，アメリカの物理学者ファイゲンバウムは奇妙ではあるが魅力的な考えを，反復関数
ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｆ（ｘ）），ｆ（ｆ（ｆ（ｘ））），・・・
に基づいて発展させ，ｆ（ｘ）が２次式になると，漸化式
ｘn+1 ＝ｆ（ｘn ）
の挙動は極めて複雑になることを指摘しました．たとえば，
ｆ（ｘ）＝ｋｘ（１−ｘ） （０＜ｋ≦４）
の形の漸化式はｋの値によって漸近挙動が全く異なったものになり，カオスと呼ばれる現象を引き起こします．
ｘn+1 ＝ｆ（ｘn ）＝ｋｘn （１−ｘn ）
ｘn が０と１の間の値をもつものと考えると，この式は人口増加のロジスティックモデルとなります．すなわち，ｘは人口増加，（１−ｘ）はそれに歯止めをかける傾向を反映する因子です．ここで，
ａ）０≦ｋ≦１なら，ｘn の値は初期値ｘ0 にかかわらず０に近づく．
ｂ）１＜ｋ≦３なら，ｘn の値は初期値ｘ0 にかかわらず固定点（ｋ−１）／ｋに近づく．
ｃ）３＜ｋ≦３．５６９９５ならば２^n個の極限値の間を振動する．
i)３＜ｋ＜３．４４（＝１＋√６）ならば２つの極限値の間を振動する（周期２のサイクル）．
ii)３．４４＜ｋ＜３．５４ならば４つの極限値の間を振動する（周期４のサイクル）．
iii)３．５４＜ｋ＜３．５６４ならば８つの極限値の間を振動する（周期８のサイクル）．
iv)３．５６４＜ｋ＜３．５６６ならば１６の極限値の間を振動する（周期１６のサイクル）．
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４）ｋ＞３．５６９９５（ファイゲンバウム点）のときには挙動はひどく複雑になり，周期的なのか，周期的とすればその周期はいくつかなどはわからないほどでたらめに荒々しく揺れ動くようになります．このような状態がカオスですが，カオスでは最終の人口増加が全く予測できないだけでなく，初期値の選び方に非常に大きく依存します．
ところが，ｋの値の所々で単純な周期変動が現れ，たとえば，ｋ＝１＋２√２のとき周期が３，すなわち３つの極限値の間を振動します．リーとヨークは周期長３が観測されることはすべての可能な周期が現れることを示しています．
Li, Yorke: Period Three Implies Chaos, American Mathematical Monthly 82, 985-992, 1975
以上のことはパソコンでも簡単に確認できます．ロジスティックモデルでは時間を不連続にした体系（力学系）に限って取り扱いましたが，連続にしてもわずかだけつけ加えればこと足ります．
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【２】もうひとつの白銀比
［Ｑ］長方形から正方形を２つ切り取った後に残る長方形がもとの長方形と相似になるのは？
［Ａ］１：ｘ＝ｘ−２：１ → ｘ＝１＋√２
［Ｑ］長方形から正方形をｎ個切り取った後に残る長方形がもとの長方形と相似になるのは？
［Ａ］１：ｘ＝ｘ−ｎ：１ → ｘ＝（ｎ＋√（ｎ^2＋４））／２
これは黄金比のもうひとつの一般化であるが，この操作は無限連分数
（ｎ＋√（ｎ^2＋４））／２＝［ｎ：ｎ，ｎ，ｎ，，ｎ，・・・］
で表されることと同義である．
φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］
１＋√２＝［２：２，２，２，２，・・・］
（３＋√１３）／２＝［３：３，３，３，３，・・・］
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「白銀比」は黄金比のある種の一般化である，周期長さ１をもつ周期的連分数として表すことのできる数として定義される．
τ+/-N＝Ｎ±１／τ+/-N → ｘ^2−Ｎｘ±１＝０
より
τ+1＝１＋１／τ+1→ｔ+1＝φ
τ+2＝２＋１／τ+2→ｔ+2＝１＋√２
τ-4＝−４＋１／τ-4→ｔ-4＝２＋√３
ロジスティック・モデルではｋ＝１＋√６やｋ＝１＋２√２が出現しましたが，白銀比あるいは高貴な数は決定論的カオスを研究している物理学者にとって有名なものになっています．
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【３】シャルコフスキーの定理
リー・ヨークの定理（１９７５年）は，シャルコフスキーの定理（周期解共存定理，１９６４年）に含まれる．
『すべての自然数を
３＞５＞７＞９＞・・・（奇数の無限大）
＞２・３＞２・５＞２・７＞・・・（２×奇数の無限大）
＞２^2・３＞２^2・５＞２^2・７＞・・・（２^2×奇数の無限大）
＞２^m・３＞２^m・５＞２^m・７＞・・・（２^m×奇数の無限大）
＞２^∞・３＞２^∞・５＞２^∞・７＞・・・（２^∞×奇数の無限大）
＞２^∞＞・・・＞２^m＞・・・＞２^3＞２^2＞２＞１
の順序に並べる．周期長ｎをもてばｎより右にあるすべての周期長ｋをもつ．』
シャルコフスキーの定理は，リー・ヨークの定理が発表された以後広く知られるようになったのであるが，確かに３より右に並んでいる数はすべての自然数を網羅しているから，周期３のサイクルをもてばすべての周期をもつことになる．この定理の証明は不動点定理の応用による．
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