【１】フェルマー数

　フェルマー数（２^(2^n)＋１）は簡単な漸化式

　　Ｆn＝（Ｆn-1−１）^2＋１

を満たしています．Ｆn-1^2はほぼＦnと等しくなるというわけです．

　また，この式から

　　Ｆn−２＝Ｆn-1（Ｆn-1−１）＝・・・＝Ｆ0Ｆ1・・・Ｆn-1

言い換えれば，Ｆn−２はそれより小さいすべてのフェルマー数で割り切れることがわかります．

　これを用いるとすべてのフェルマー数が互いに素であることを証明することができます．すなわち，（Ｆn，Ｆi）＝１がすべてのｉ（０≦ｉ≦ｎ−１）について成り立ちます．このことは任意にｉ≠ｊをとったとき，（Ｆi，Ｆj）＝１と意味するのですが，このことから数列｛Ｆn｝を用いて，素数が無限にあることを示すことができます．

（証明）

　すべてのＦiの素因数を１つずつとりｐiと呼べばｐはすべて異なるから，素数は無限にあることがわかる．

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【２】フィボナッチ数

　フィボナッチ数は漸化式

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

に従って，その前の２つの数の合計として順次計算することができて，

　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，・・・

となります．

　　２＝１＋１／１

　　３／２＝１＋１／（１＋１／１）

　　５／３，８／５，１３／８，・・・

　　Ｆn+1／Ｆn＝［１：１，・・・，１］

は黄金比に対する近似分数となりますが，これはまた連続するフィボナッチ数は互いに素であることを示しています．

　この他にもフィボナッチ数は多くの性質をもっていて，以下にいくつか紹介しておきます．

　　Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n

　　Ｆ1 ＋Ｆ2 ＋Ｆ3 ＋・・・＋Ｆn ＝Ｆn+2 −１

　　Ｆ1 ＋Ｆ3 ＋Ｆ5 ＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n

　　Ｆ2 ＋Ｆ4 ＋Ｆ6 ＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１

　　Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋Ｆ3^2＋・・・＋Ｆn^2＝Ｆn ・Ｆn+1

　有名な幾何学的パラドックス＜６４ｃｍ^2 ＝６５ｃｍ^2 ＞は，「不思議の国のアリス」の作者であるルイス・キャロルが創ったとも，パズルの大御所であるサム・ロイドが創ったともいわれているパズルです．きっと，いろいろな本でみたことのある方も多いと思います．このトリックは一直線をなすように使われた２つの線分の傾き３／８，５／１３の相違がわれわれの視力の限界外となる錯覚を利用したもので，もっと先の数，たとえば８／２１とかを使えばより巧妙なトリックになります．公式Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n は，３つ並んだフィボナッチ数の真ん中の数の平方は前後の２つの数の積より１大きいか小さいかのどちらかで，このトリックパズルのもとになっています．

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【３】互いに素な確率

　　１／ζ（２）＝６／π^2＝０．６１

これは無作為に選んだ２つの整数が公約数をもたない（互いに素である）確率に等しい．これはまた，無作為に選んだ２つの整数が２乗因子がない（２乗で割り切れない）確率でもある．

　なお，（２，５，８）のように３つあるいはそれ以上の整数があって，それらが共通の因数をもたない確率は１／ζ（ｋ）で与えられる．ｋ＝３のとき，０．８３２である．これはまた，無作為に選んだ３つの整数が３乗因子がない（３乗で割り切れない）確率でもある．ｋ乗で割り切れない確率も１／ζ（ｋ）に近づいていく．

　それに対して，（２，５，９）のように３つあるいはそれ以上の整数があって，それらすべての可能な対（ｋ，２）組が互いに素になる確率は，ｋ＝３のとき

　　３６／π^4Π（１−１／（ｐ＋１）^2）＝．２８

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