正弦積分とは，シンク関数の積分
Ｓｉ（ｘ）＝∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ
＝ｘ−ｘ^3／３・３！＋ｘ^5／５・５！−・・・
として定義される特殊関数（初等関数によって表し得ない関数）である．
また，その特殊値
Ｓｉ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ＝π／２
はしばしばディリクレ積分と呼ばれるが，この他にもディリクレ積分と呼ばれる積分がある．
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【１】ディリクレ分布（多変量ベータ分布）
ベータ関数を多変数化すると，ディリクレの積分公式
∫ｘ1^(p1-1)･･･ｘm^(pm-1)（１−ｘ1−・・・−ｘm）^(q-1)ｄｘ1・・・ｄｘm
＝Γ(p1)･･･Γ(pm)Γ(q)／Γ(p1+･･･+pm+q)
が得られます．
→［参］高木貞治「解析概論」岩波書店，ｐ359
ここでは一般的な形で与えましたが，たとえば，３次元空間において座標面と平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝１とで囲まれた四面体Ｋを積分区域とすると
Ｓ＝∫∫∫(K)ｘ^(p-1)ｙ^(q-1)ｚ^(r-1)（１−ｘ−ｙ−ｚ）^(s-1)ｄｘｄｙｄｚ
＝Γ(p)Γ(q)Γ(r)Γ(s)／Γ(p+q+r+s)
になるというわけです．
コラム「定数項予想入門」において，ディクソンの恒等式の拡張が
Σ(-1)^j(a+b,a+j)(b+c,b+j)(c+a,c+j)=(a+b+c)!/a!b!c!
であることから，ダイソンは
Π（１−ｘk／ｘj）^aiの定数項＝(a1+a2+･･･+an)!/a1!a2!･･･an!
なる予想（ダイソンの定数項予想）にたどりついたことを解説しましたが，
ｎ！＝Γ（ｎ＋１）
より，これとよく似た形で表されることがおわかりいただけるでしょう．
積分すると１になるように規格化したものがディリクレ分布で，ｘ1，ｘ2，・・・ｘm-1，ｘmが独立でそれぞれ自由度２θiのカイ２乗分布にしたがうとして，
ｘm＝１−Σｘi，ｙi＝ｘi／Σｘi
とおくと（ｙ1，・・・，ｙm-1）の同時確率密度関数は
ｆ（ｙ1，・・・，ｙm-1）＝Γ（Σθi）／ΠΓ（θi）・Πｙi^(θi-1)
このｍ−１次元分布をディリクレ分布と呼びます．ｍ＝２のときがベータ分布であって，ベータ分布の多次元化とみなすことができます．また，ディリクレ分布の周辺分布はベータ分布になります．
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【２】ミンコフスキーの数の幾何学（ディリクレ積分の応用）
ミンコフスキーはアインシュタインの先生として有名で，相対論における基本概念はミンコフスキーにその起源をたどることができます．彼は数論家として出発しましたが，研究を進めるにしたがって次第に幾何学に興味を惹かれるようになり，幾何学的方法を用いて数論を研究する「数の幾何学」と呼ばれる新しい数学分野を打ち立てました．
格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．
「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ｎ本のベクトルで張られる平行２ｎ面体の体積について述べておきます．写像：ｙ＝Ａｘによって，単位直方体は平行２ｎ面体に写像されるものとすると，この写像のヤコビアンはＪ＝｜Ａ｜となります．また，グラミアン
Ｇ＝｜Ａ｜^2
が成立しますから，平行２ｎ面体のｎ次元体積は
｜Ｇ｜^(1/2)＝｜Ａ｜
で与えられます．
したがって，ミンコフスキーの定理から，
（中心対称凸体の体積）＞２^n｜Ａ｜
ならば，内部あるいは境界上に格子点が必ず存在することになります．
一般に，Ｒ^s×Ｃ^tにおいて，直方体領域
Ｂ＝｛｜ｘ1｜≦ｃ1，・・・，｜ｘs｜≦ｃs，｜ｘs+1｜^2≦ｃs+1，・・・，｜ｘs+t｜^2≦ｃs+t｝
の体積は
ｖｏｌ（Ｂ）＝∫(-c1,c1)dx1・・・∫∫(u^2+v^2≦cs+1)dudv・・・
＝(2c1)･･･(πcs+1)･･･＝２^sπ^tΠｃi
また，正八面体領域
Ｂ＝｛｜ｘ1｜＋・・・＋｜ｘs｜＋２｜ｘs+1｜＋・・・２｜ｘs+t｜≦ρ｝
の体積は，ｎ＝ｓ＋２ｔ，ｘs+j＝ｒjexp(iθj)とおくと，
ｄｕｄｖ＝ｒｄｒｄθ
ですから，
ｖｏｌ（Ｂ）＝∫(B)dx1・・・r1dr1dθ1・・・
＝２^s（２π）^t∫r1･･･rtdx1･･･dx2dr1･･･drt
ここで，ディリクレの積分公式
∫ｘ1^(p1-1)･･･ｘm^(pm-1)（１−ｘ１−・・・−ｘm）^(q-1)ｄｘ1・・・ｄｘm
＝Γ(p1)･･･Γ(pm)Γ(q)／Γ(p1+･･･+pm+q)
より，
ｖｏｌ（Ｂ）＝２^s（π／２）^tρ^n／ｎ！
と計算されます．
そして，この格子点定理をｎ次の代数体に応用すると，ミンコフスキーの定数
Ｍ＝（４／π）^rｎ！／ｎ^n√｜Ｄ｜
が得られます．
Ｍは領域Ｂに含まれる格子点の個数を与えてくれる定数なのですが，これより，２次体のミンコフスキーの定数は，Ｄ＞０（実２次体）の場合，ｎ＝２，ｒ＝０とおいて
Ｍ＝1/2√Ｄ
Ｄ＜０（虚２次体）の場合，ｎ＝２，ｒ＝ｎ／２とおいて
Ｍ＝2/π√-Ｄ
によって与えられます．
この定理は非常に単純であるにもかかわらず，他の方法では解決することのできなかった数論における多くの問題を解明したのですが，格子点定理を用いると，初等的な定理，たとえば，
「４ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋ｙ^2の形に書ける」
「６ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋３ｙ^2の形に書ける」
「８ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋２ｙ^2の形に書ける」
なども証明することができます．２次形式の理論が発展していく段階では，ミンコフスキーが非常に大きな貢献をしていて，格子点の幾何学はミンコフスキーの「数の幾何学」に端を発するのです．
［補］ミンコフスキーの公式（１９０５年）をハール測度という位相群上で定義された測度でもって，１種の体積計算に持ち込むと
ｖｏｌ（ＳＬ（ｎ，Ｒ）／ＳＬ（ｎ，Ｚ））＝Πζ(k) (k=2~n)
で表される．
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【３】セルバーグ積分
ベータ関数の多重積分版として，セルバーグは次の積分公式を得ました．
∫(0,1)・・・∫(0,1)Πｔi^(x-1)（１−ｔi）^(y-1)Π｜ｔi−ｔj｜^(2z)ｄｔ1・・・ｄｔn
＝ΠΓ（x+(j-1)z）Γ（y+(j-1)z）Γ（jz+1）／Γ（x+y+(n+j-2)z）Γ（z+1）
左辺にある
Δn(t)＝Π（ｔi−ｔj）
は差積ですから，電子の励起状態や原子核のエネルギー準位に関連していることが想像されます．
差積はファンデルモンド行列式に等しく，
Δn(t)^(2k)＝Π｜ｔi−ｔj｜^(2k)＝Σc(α1,･･･,αn)ｔ1＾α1･･･ｔn＾αn
のようにｔについての対称式に展開することができます．ここで，c(α)=c(α1,･･･,αn)は整数です．
また，左辺の
∫(0,1)ｔi^(x-1)（１−ｔi）^(y-1)ｄｔi＝Γ(x)Γ(y)／Γ(x+y)
はベータ関数であり，これより
Ｓ＝Σc(α1,･･･,αn)ΠΓ(x+αj)Γ(y)／Γ(x+y+αj)
＝c(z)ΠΓ（x+(j-1)z）Γ（y+(j-1)z）／Γ（x+y+(n+j-2)z）
積分Ｓの被積分関数がｔ1，・・・，ｔnについて対称であることから，ｎ次元超立方体[0,1]^nをｎ！個の単体に分割して
Ｓ＝ｎ！∫(0,1)∫(tn,1)∫(tn-1,1)・・・∫(t2,1)Δn(t)^(2k)Πｔi^(x-1)（１−ｔi）^(y-1)ｄｔ1・・・ｄｔn
これらの結果を併わせると
c(z)＝Γ（jz+1）／Γ（z+1）
となり，セルバーグの積分公式が証明されます．
→［参］三町勝久「ダイソンからマクドナルドまで」群論の進化・第４章，朝倉書店
セルバーグ積分は久しく忘れられていたのですが，近年になってにわかに注目されるようになりました．１つにはランダム行列の分配関数の明示的公式を与えること，１つには２次元共形場理論における頂点作用素の表示を与えるのに有効なこと，また１つにはＡ型帯球関数である直交多項式に深いつながりがあることがわかってきたからだそうです．セルバーグ積分の応用については，これから先はよくわからないのでやめておきます．生兵法はけがのもと・・・．
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