【１】赤道周りへの測度集中

　Ｓn-1球面の赤道の周りに幅２ωの帯を設けて，ここに測度の８０％が含まれるようなωを求めてみることにします．すなわち

　　Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：−ω≦ｘn≦ω｝

　＝Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：ｘn^2≦ω^2｝＝０．８

　具体的にいうとＳ0＝｛±１｝，Ｓ1は２π（円周）ですから，

　　ω＝ｓｉｎ(0.8/4･2π)＝０．９５１０５６

ｎ＝３の場合，Ｓ2は４π（表面積）ですが，y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられますから，y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　S[y]=2π∫(0,x)dx=2πx=0.8/2･4π

よりω＝０．８と求められます．

　ｎ＞３は簡単には求められませんが，（その２）で述べたことにより，x=(x1,x2,･･･,xn)を単位球面Ｓn-1上で一様分布する点とすると，xn^2の分布はベータ分布Beta(1/2,(n-1)/2)となることがわかります．

　ベータ分布は不完全ベータ関数と密接に関係していて，その分布関数はガウスの超幾何関数2Ｆ1を使って以下のように表現されます．

　　Ｆ（ｘ）＝１／ｐｘ^p2Ｆ1(p,1-q,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）

　　　　　　＝１／ｐｘ^p（１−ｘ）^q2Ｆ1(p+q,1,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）

　この式からわかるようにベータ分布は区間（０，１）で定義された分布で，（０，１）に制限されているため，ニュートン法などの反復解法を用いてパーセント点を求めるには不向きです．そこで，区間（０，∞）で定義されたＦ分布の上側確率との間には

　　Ｑ（df1,df2,F)＝Ｉx（df2/2,df1/2,x)，ｘ＝df2/(df2+df1*F)

　　Ｉx(p,q)＝∫(0,x)t^(p-1)(1-t)^(1-q)dt/B(p,q)

の関係のあることを使って，Ｆ分布に関する計算をしてからベータ分布関数に変換する方法でベータ分布のパーセント点を求めることにします．また，その方が初期値を求めるうえでもを便利です．

　ｎ　　　　　　ω

2 .951057

3 .8

4 .687049

5 .6084

6 .550863

7 .506727

8 .471589

9 .442796

10 .418662

20 .291384

30 .236612

40 .204344

50 .182466

60 .166381

70 .153916

80 .143889

90 .135596

100 .12859

　この計算が示していることは，（直観に反して）大きいｎに対してはＳn-1のほとんどが赤道のかなり近くに位置しているというものです．後述するように，ｎが大きいときωのオーダーはｎ^(-1/2)になります．

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【２】境界付近への測度集中

　 ｎ次元単位超球の境界付近に幅δの球殻を設けて，ここに測度の８０％が含まれるようなδを求めてみることにします．すなわち

　　Ｐ｛ｘ＜Ｖn：１−δ≦ｒ≦δ｝＝０．８

　半径１と１−δの間の薄皮部分の体積は

　　ｖn(1-(1-δ)^n)

ですから，δは

　　ｖn(1-(1-δ)^n)=0.8ｖn

と解くと簡単に求めることができて

　　δ=1-0.2^(1/n)

　ｎ　　　　　　δ

2 .552786

3 .415196

4 .33126

5 .27522

6 .235275

7 .205403

8 .182235

9 .163749

10 .14866

20 .0773191

30 .0522342

40 .0394372

50 .0316762

60 .0264674

70 .0227296

80 .019917

90 .0177237

100 .0159655

　この計算が示していることは，（直観に反して）ｎが大きいとき超球の体積Ｖnの大部分はその境界付近に集中するというものです．いわゆる薄皮まんじゅう状態なのですが，ｎ＝２，３などの場合から類推すると非常に奇妙に感じられます．

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