【１】まんじゅう等分問題

（Ｑ）半径１の半球を底面と平行な平面ｙ＝ａで切って，体積を２等分するにはどこで切ればよいか．

（Ａ）y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる回転体の体積は

　　V[y]=π∫y^2dx

で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　V[y]=π∫(1-x^2)dx

　　π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3

が球全体の１／４になればよい．

　　π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3=π/3

　　a^3-3a+1=0

　　a=0.3472963553=2cos10

　ついでに，半球の表面積を２等分するにはどこで切ればよいかの解も求めておこう．

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【２】球面上の２色問題

　球面のちょうど５０％を黒塗りする問題を考えます．赤道が与えられているならば北半球か南半球を黒く塗りつぶせばよいのですが，そのような塗り方ではなく，赤道の周りに幅２ωの帯を設けて，ここに表面積の５０％が含まれるようなωを求めてみてください．すなわち

　　Ｐ｛ｘ＜Ｓ2：−ω≦ｘ≦ω｝＝Ｐ｛ｘ＜Ｓ2：ｘ^2≦ω^2｝＝０．５

ただし，赤道や両極，緯線は与えられているものとします．

［Ａ］ｎ＝３の場合，Ｓ2は４π（表面積）ですが，y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられますから，y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　S[y]=2π∫(0,x)dx=2πx=0.5/2･4π

よりω＝０．５と求められます．

　　ｓｉｎθ＝０．５

は緯度３０°に相当しますから，表面積の５０％となるためには北緯３０°〜南緯３０°の範囲を塗りつぶせばよいことがわかります．なお，Ｓ1は２π（円周）ですから，円周の５０％となるためには

　　ω＝ｓｉｎ(0.5/4･2π)＝ｓｉｎ４５°＝１／√２

より北緯４５°〜南緯４５°の範囲を黒く塗りつぶします．

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【３】高次元球面上の２色問題

　この問題は高次元球面に一般化することができます．ｎ＞３は簡単には求められませんが，x=(x1,x2,･･･,xn)を単位球面Ｓn-1上で一様分布する点とすると，xn^2の分布はベータ分布Beta(1/2,(n-1)/2)となります．→［参］高次元のパラドックスとスターリングの公式（その３）

　ベータ分布は不完全ベータ関数と密接に関係していて，その分布関数はガウスの超幾何関数2Ｆ1を使って以下のように表現されます．

　　Ｆ（ｘ）＝１／ｐｘ^p2Ｆ1(p,1-q,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）

　　　　　　＝１／ｐｘ^p（１−ｘ）^q2Ｆ1(p+q,1,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）

　この式からわかるようにベータ分布は区間（０，１）で定義された分布で，（０，１）に制限されているため，ニュートン法などの反復解法を用いてパーセント点を求めるには不向きです．そこで，区間（０，∞）で定義されたＦ分布の上側確率との間には

　　Ｑ（df1,df2,F)＝Ｉx（df2/2,df1/2,x)，ｘ＝df2/(df2+df1*F)

　　Ｉx(p,q)＝∫(0,x)t^(p-1)(1-t)^(1-q)dt/B(p,q)

の関係のあることを使って，Ｆ分布に関する計算をしてからベータ分布関数に変換する方法でベータ分布のパーセント点を求めることにします．また，その方が初期値を求めるうえでもを便利です．

　ｎ　　　　　　ω

2 .707107

3 .5

4 .403973

5 .347296

6 .309073

7 .281128

8 .259573

9 .242303

10 .228067

20 .155824

30 .12583

40 .108378

50 .0966214

60 .0880126

70 .0813585

80 .0760163

90 .0716048

100 .0678818

　この計算が示していることは，（直観に反して）大きいｎに対してはＳn-1のほとんどが赤道のかなり近くに位置しているというものです．ｎが大きいときωのオーダーはｎ^(-1/2)になります．

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