［Ｑ］シュタイナーの問題：

　　ｙ＝ｘ^(1/x)の最大値を求めよ．

ｌｏｇｙ＝（ｌｏｇｘ）／ｘ

ｙ'／ｙ＝（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

ｙ’＝（１−ｌｏｇｘ）ｘ^(1/x-2)より，ｙ＝ｘ^(1/x)は，ｘ＝ｅのとき，最大値ｅ^(1/e)＝１．４４４６・・・をとる．

［Ｑ］ｙ1＝ｘ^xの最小値を求めよ．

　　ｌｏｇｘ^x＝ｘｌｏｇｘ

　　（ｘｌｏｇｘ）’＝ｌｏｇｘ＋１＝ｌｏｇ（ｘｅ）

　　ｙ1’＝ｙ1ｌｏｇ（ｘｅ）

　したがって，ｘ^xは０＜ｘ＜１／ｅでは単調減少，ｘ＞１／ｅでは単調増加．ｘ＝１／ｅのとき，最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．９６２２・・・をとる．

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　ｆ（ｘ）＝ｘ^x、ｘ＞０，ｆ（０）＝１の問題について再考してみよう．

［１］ｆ’（ｘ）

　ｙ＝ｘ^xの対数をとって，ｌｏｇｙ＝ｘｌｏｇｘ．両辺をｘで微分すると

　　ｙ’／ｙ＝ｌｏｇｘ＋１→ｙ’＝ｘ^x（ｌｏｇｘ＋１）

［２］凸関数

　　ｙ”＝ｙ’（ｌｏｇｘ＋１）＋ｙ／ｘ＝ｘ^x［（ｌｏｇｘ＋１）^2＋１／ｘ］＞０

［３］ｙ軸にｙ＝１で接する

　　ｙ’＝ｘ^x（ｌｏｇｘ＋１）

ｘ→＋０のとき，ロピタルの定理より

　　ｘｌｏｇｘ＝ｌｏｇｘ／（１／ｘ）＝（ｌｏｇｘ）’／（１／ｘ）’＝−ｘ→０，

　　ｘ^x→１，（ｌｏｇｘ＋１）→−∞

［４］最小値

　ｆ’（ｘ）＝０より，ｌｏｇｘ＋１＝０→ｘ＝１／ｅ．

　最小値（１／ｅ）^1/e．

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［Ｑ］北半球の重心座標を求めよ．

［Ａ］一定の密度をρとおく．極座標表示

　　ｘ＝ｒｓｉｎφｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎφｘｓｉｎθ，ｚ＝ｒｃｏｓφ

のヤコビアンはｒ^2ｓｉｎφ．

　　ρ∫∫∫ｄｘｄｙｄｚ＝ρ∫∫∫ｒ^2ｓｉｎφｄφｄθｄｒ＝ρ２πｒ^3／３

　　ρ∫∫∫ｚｄｘｄｙｄｚ＝ρ∫∫∫ｒ^3ｓｉｎφｃｏｓφｄφｄθｄｒ＝ρπｒ^4／４

よって，重心座標は（０，０，３ｒ／８）

［Ｑ］半球殻（ドーム型屋根）の重心座標を求めよ．

［Ａ］球殻の厚さをｄとおく．

　　ρ∫∫∫ｄｘｄｙｄｚ＝ρ∫∫∫ｒ^2ｓｉｎφｄφｄθｄｒ＝ρ２π｛ｒ^3−（ｒ−ｄ）^3｝／３

　　ρ∫∫∫ｚｄｘｄｙｄｚ＝ρ∫∫∫ｒ^3ｓｉｎφｃｏｓφｄφｄθｄｒ＝ρπ｛ｒ^4−（ｒ−ｄ）^4｝／４

よって，重心座標は（０，０，３｛ｒ^4−（ｒ−ｄ）^4｝／８｛ｒ^3−（ｒ−ｄ）^3｝）

　ここで，ｄ→０のとき，重心座標→（０，０，ｒ／２）

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