パスカルの三角形において，水平線上の値を合計すると２のベキが現れる．
Σ(n,k)=2^n
二項係数とフィボナッチ数の間にもエレガントな関係があるが，それはパスカルの三角形の対角線上の値を合計するとフィボナッチ数が現れるというものである．
Ｆn＝Σ(k=0~[n/2])（ｎ－ｋ，ｋ）
今回のコラムで紹介する級数は，二項係数と２のベキの積和には３のベキが現れるというものである．
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【１】正多胞体におけるオイラー・ポアンカレの定理
ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．
たとえば，正単体では
ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
なのですが，ｋ＝ｎ－１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．
同様に，正軸体では
ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ－１のとき，ｆk＝２^n
立方体では
ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ－１のとき，ｆk＝２ｎ
となります．
もちろん，
正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
正軸体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）
立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）
はオイラー・ポアンカレの定理：
ｆ0－ｆ1＋ｆ2－・・・＋（－１）^(n-1)ｆn-1＝１－（－１）^n
すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．
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【２】正多胞体におけるオイラー・ポアンカレの定理の双対？
オイラー・ポアンカレの定理は交代和
Σ（－１）^k（ｎ＋１，ｋ＋１）
Σ（－１）^k（ｎ，ｋ）２^(n-k)
Σ（－１）^k（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)
であったが，ここでは正項の和
Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）
Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)
Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)
を考える．
Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２（２^n－１）
はいいとしても，
Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)＝Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)
を閉じた形に表すことはできないのだろうか？
結論を先にいうと，
Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)＝３^n－１
である．ｋ＝ｎまで加えると－１は要らなくなる．
Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)＝３^n
証明は，パスカルの三角形
Σ(n,k)p^kq^(n-k)=(p+q)^n
において，ｐ＝１，ｑ＝２とおくことにより簡単に導かれる．
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【３】図形的説明
立方体の話にはいる前に，まず，正方形のブロック積みを考えてみましょう．３つの正方形が１点で出会うように平面を敷き詰めると，すべての正方形はは周りの６つの正方形に接することがわかります．お城の石垣でもタマネギの細胞でもこのような原則が成り立っています．
次に，立方体の場合を調べてみます．１段目を敷き詰めたあと，２段目も１段目と同じように敷き詰めるが，１段目の立方体のすべての頂点を２段目の立方体で覆うようにずらして積み重ねると，１段目の立方体の上には４つの立方体が載ることになる．３段目も同様に行うと同じ段に６，上の段に４，下の段にも４で合計１４の立方体に接することになります．（球の接触数１２よりも多い）．
３次元では１４の立方体に接触できることはわかりましたが，それでは４次元，５次元，・・・，ｎ次元ではどうなるのでしょうか？ これを知る人はたとえいたとしても非常に少ないであろうと思います．そこで証明抜きで次元論の敷石定理について解説すると，最大２（２^n－１）個接触することができます．すなわち，２次元では６個，３次元では１４個，４次元では３０個（超球の接触数２４よりも多い），５次元では６２個，６次元では１２６個となるのです．
一方，立方体の単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについては説明するまでもありませんが，面接触数を数えると６，一般にｎ次元立方体では２ｎになります．それでは点接触数，辺接触数も加えたらどうなるでしょうか？ 正方形を囲型に配置する場合は８，立方体では２６，ｎ次元立方体では３^n－１になります．（中央の立方体を加えると３^n）
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【４】雑感
Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)＝３^n－１あるいは３^n
を公式集
一松信「数学公式Ⅱ」岩波
新数学公式集Ⅰ（初等関数），丸善
"Table of Integrals,Series and Products"
I.S.Gradshteyn and I.M.Ryzhik,6th Edition,Academic Press
をめくって探索してみたが，みつからない．
そのため，コラム「ｎ次元の立方体と直角三角錐（その６０）」では超幾何関数まで持ち出して証明するはめになったのだが，パスカルの三角形
Σ(n,k)p^kq^(n-k)=(p+q)^n
においてｐ＝１，ｑ＝２とおくことにより簡単に導かれる．また，このことから，二項係数と３のベキの積和には４のベキが現れることもわかるだろう．
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