たとえば，２のベキ乗２^nを順に並べてそれぞれの最大桁の数が１ではじまる数が多いことに気づきます．また，数を連分数で表示すると数字１が大量に出現することに気づきます．

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【１】ベンフォードの法則

　１９３８年，ＧＥの物理学者ベンフォードは対数表の対数表の最初が残りの部分よりもひどく汚れていることに気づき，「１ではじまる数が多いのはなぜか」という問題に説明を与えました．

　先頭の数字がどのような確率で出現するかを考えましょう．単純に各数字（０〜９）の出現確率が同じと考えれば，同じ確率１／９で現れるはずですが，実際には１から始まる数値が圧倒的に多く３０％くらいもあります．

　たとえば，簡単な例として，２のベキ乗２^nを順に並べてそれぞれの最大桁の数を取り出すと

　　２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，１０２４，２０４８，・・・

　　→２，４，８，１，３，６，１，２，５，１，２，・・・

となっているのですが，倍にした数が９で始まるためには，その前の数字が４５−４９で始まっていなければなりません．それに対して，５−９で始まる数はどれも倍にすると１で始まる数になります．そして，最大桁がｋ（１≦ｋ≦９）である確率はｎ→∞のとき，

　　ｌｏｇ10（（ｋ＋１）／ｋ）

に収束することが知られています．

　したがって，最大桁の頻度は１が一番高く

　　１→ｌｏｇ10２＝０．３０１０，

以下，

　　２→ｌｏｇ10３／２＝０．１７６１，

　　３→ｌｏｇ10４／３，

　　・・・・・・・・・，

　　９→ｌｏｇ10１０／９＝．０４５８

の順になるというわけです．

　このことは計算尺を見れば１で始まる数が全体の約３０％を占めることとまったく同じで，逆に，９から始まる数値は４．５％程度まで落ちるのです．この現象はベンフォードの法則として知られていますが，実はアメリカの天文学者ニューカムが１８８１年に発見したのが最初ということです．

［補］フィボナッチ数の１０００項までの最高位の数もこの法則に従っていることがわかります．

数　　　　　１　　　２　　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９

頻度　　３０１　１７７　１７７　９６　８０　６７　５６　５３　４５

　フィボナッチ（Fibonacci）数列は，項比が黄金比に近づくという性質がなかに隠されている慨指数関数的増加数列なのですが，黄金比がギリシア文字のφで表されることから，phi-bonacci数列と呼ぶ人さえいます．

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【２】ガウスの定理

　１８２８年，ガウスは整数部を除いた［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］がｘより小さい小数となる確率は

　Ｐ（［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］＜ｘ）＝ｌｏｇ2（１＋ｘ）＋εn

で与えられることを証明しました．

　誤差項に関して，１９２８年にクズミンはほとんどすべての連分数に対して，

　　εn＝Ｏ（ｑ^√n）　　０＜ｑ＜１

１９２９年にレヴィは

　　εn＝Ｏ（ｑ^n）　　ｑ＝０．７

であることを示しました．どちらも誤差項εnは漸近的に０になることを示しています．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ガウスはまた，連分数の部分商の確率密度関数は

　　Ｐ（ａn＝ｋ）＝Ｐ（ｋ＜εn＜ｋ＋１）＝Ｐ（εn＜ｋ＋１）−Ｐ（εn＜ｋ）

→ｌｏｇ2（１＋１／ｋ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ｋ＋１））＝ｌｏｇ2（１＋１／ｋ（ｋ＋２））

であることを示しました．

　ａn＝１，２，３，・・・に対する確率は大部分の小数部で等しいのと対照的に，連分数では減少していきます．そして，十分大きなｎに対する部分商の起こる確率Ｐは

ｋ　　　　　　　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　９＋

Ｐ（ａn ＝ｋ）　 .41 .17　 .09　 .06　 .04 .03 .02 .02 .16

となることがわかります．

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