オイラーはフェルマーの定理を一般化・拡張した．φ（ｍ）を１からｍ−１までの整数のうちいくつがｍと公約数をもたないかをいう数論的関数とすると，オイラーの定理は記号

　　（ａ，ｍ）＝１→ｍ｜ａ^φ(m)-1−１

を用いて表される．ｍが素数ならφ（ｍ）＝ｍ−１より，フェルマーの定理に一致する．

　ｍ＝１０のとき，φ（ｍ）＝４であるから，

　　１０｜ａ^4−１

が得られる．言い換えれば，２と５を因数にもたない任意の数ａの４乗の最後の桁は１である．

　　３^4＝８１，７^4＝２４０１，９^4＝６５６１，１３^4＝２８５６１

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【１】１０を原始根とする素数

１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２７５８の長さ６）

１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数（あるいはfull-reptendな素数）といいます．

　１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）=Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

　もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．

　しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．

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【２】循環分数の周期

　なぜ１／７は長さ６の周期をもつのだろうか？　１／３の場合，

　　１／３＝３／９＝３／（１０−１）＝３／１０・１／（１−１／１０）

＝３／１０・｛１＋１／１０＋１／１００＋・・・｝

と同様に考えると

　　７ｆ＝１０^k−１

となる最小の正の因数ｆを探していることになる．言い換えれば，

　　１０^k＝１　　　（ｍｏｄ７）

となる最小のｋを探していることになるが，これは位数の定義と同じである．

　　ｋ＝ｏｒｄ7１０＝６

　　ｆ＝（１０^6−１）／７＝１４２８５７

起こり得る最長の周期ｐ−１は，１０がｐの原始根であるときに起こるというわけである．

　１０進分数の周期について述べてきたことは，他の基底に対してもあてはまる．たとえば，２進法における１／３は周期長

　　Ｔ＝ｏｒｄ2３＝２

をもち，実際，

　　１／３＝０．０１０１０・・・

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【３】ウィルソンの定理のもうひとつの証明

（Ｑ）ｐを素数とするとき，

　　（ｐ−１）！＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　ｐ｜（ｐ−１）！＋１

を証明せよ（ウィルソンの定理）

（Ａ）ｘ＝１，２，・・・，ｐ−１に対して，フェルマーの定理より

　　ｘ^p-1＝１　　　（ｍｏｄｐ）

が成り立つ．

　したがって，これらｐ−１個は方程式のすべての解であり，

　　ｘ^p-1−１＝（ｘ−１）（ｘ−２）（ｘ−ｐ＋１）　　　（ｍｏｄｐ）

と書くことができる．ｘ＝ｐを代入すると

　　ｐ^p-1−１＝（ｐ−１）（ｐ−２）（ｐ−ｐ＋１）＝（ｐ−１）！

　　　（ｍｏｄｐ）

　　ｐ^p-1＝０　　　（ｍｏｄｐ）

より

　　（ｐ−１）！＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

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【４】ウィルソンの定理の原始根による証明

（Ａ）ｇが素数ｐの原始根であるとき，ｋ＝１，２，・・・，ｐ−１に対する

　　ｇ^k　　　（ｍｏｄｐ）

は整数１，２，・・・，ｐ−１の順列であるから，

　　（ｐ−１）！＝１・２・・・（ｐ−１）＝ｇ・ｇ^2・・・ｇ^p-1＝ｇ^p(p-1)/2＝ｇ^(p-1)/2　　　（ｍｏｄｐ）

　フェルマーの定理より

　　ｇ^(p-1)＝１　　　（ｍｏｄｐ）

したがって

　　ｇ^(p-1)/2＝±１　　　（ｍｏｄｐ）

となるが，正の符号はｇが原始根であり，ｐ−１はｇ^mが１と合同である最小の指数ｍであるから不可能．

　以上より，

　　ｇ^(p-1)/2＝（ｐ−１）！＝−１　　　（ｍｏｄｐ）

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