今回のコラムでは，漸近平均・漸近確率を取り上げる．

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【１】フェルマーの定理とオイラーの定理

　フェルマーの定理「ａが素数ｐと公約数をもたないならば，ａ^p-1−１はｐで割り切れる」は，記号

　　（ａ，ｐ）＝１→ｐ｜ａ^p-1−１

を用いて表される．フェルマーの定理の逆は真ではない．

　オイラーはフェルマーの定理を一般化・拡張した．φ（ｍ）を１からｍ−１までの整数のうちいくつがｍと公約数をもたないかをいう数論的関数とすると，オイラーの定理は記号

　　（ａ，ｍ）＝１→ｍ｜ａ^φ(m)−１

を用いて表される．ｍが素数ならφ（ｍ）＝ｍ−１より，フェルマーの定理に一致する．

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【２】関数φ（ｎ）の漸近平均

　関数φ（ｎ）はかなり変動する関数であるが，その漸近的な振る舞いは

　　Σφ（ｋ）〜３ｎ^2／π^2

誤差項まで含めると

　　１／ｎ・Σφ（ｋ）／ｋ〜６／π^2＋Ｏ（（ｌｎ（ｎ）／ｎ）

　　１／ｎ^2・Σφ（ｋ）〜３／π^2＋Ｏ（（ｌｎ（ｎ）／ｎ^2）

　すなわち，

　　φ（ｋ）の平均値／ｎ〜６／π^2＝１／ζ（２）＝０．６１

これは無作為に選んだ２つの整数が公約数をもたない（互いに素である）確率に等しい．

　なお，（２，５，８）のように３つあるいはそれ以上の整数があって，それらが共通の因数をもたない確率は１／ζ（ｋ）で与えられる．ｋ＝３のとき，０．８３２である．それに対して，（２，５，９）のように３つあるいはそれ以上の整数があって，それらすべての可能な対（ｋ，２）組が互いに素になる確率は，ｋ＝３のとき

　　３６／π^4Π（１−１／（ｐ＋１）^2）＝．２８

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【３】約数関数ｄ（ｎ）と約数の総和関数σ（ｎ）の漸近平均

　ｎ＝Πｐ^eのとき，

　　ｄ（ｎ）＝Π（ｅ＋１），

　　σ（ｎ）＝Π（ｐ^e+1−１）／（ｐ−１）

で与えられる関数の漸近的な振る舞いは，

　　１／ｎ・Σｄ（ｋ）〜ｌｎ（ｎ）＋２γ−１＋Ｏ（１／√ｎ）

　　１／ｎ^2・Σσ（ｋ）〜π^2／１２＋Ｏ（ｌｎ（ｎ）／ｎ）

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