【１】周期性

　連分数展開によって

　　（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

　　√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］

のように，１や２が無限に繰り返されるという規則性を見ることができます．

　　√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］

では交互に１，２が現れる循環連分数となります．以下，

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

　　√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］

　　√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

一般に，√ｍの連分数展開は循環連分数となり周期性が証明されます．これは既約分数の小数展開が循環小数になることと対比するとおもしろい事実です．

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【２】２倍性

　その際，周期の最後の数は最初の数ｑ0の２倍に等しい，すなわち，

　　√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn-1，２ｑ0，・・・］

という周期ｎの連分数展開が得られます．

　　√２＝［１；２，・・・］

　　√３＝［１；１，２，・・・］

　　√５＝［２；４，・・・］

　　√６＝［２；２，４，・・・］

　　√７＝［２；１，１，１，４，・・・］

すなわち，どの循環節もｑn＝２ｑ0＝［２√ｍ］で終わっています．

　たとえば，√１９９の展開

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

をみると，１４で始まり２８で終わるというのもこの理由によります．

　このように，標準無限連分数のうち，部分分母列のあるところから先が巡回的になる循環連分数は２次の無理数（整数係数の２次方程式の解として表される数）に収束します．この性質により，整数項の標準連分数はいわゆるペル方程式：ｘ^2−ｍｙ^2＝ｄ（多くは±１，±４）の解法など整数論の分野で活用されます．

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【３】回文性

　また，√１９９の循環節の最後の２８を除くと１３を中心として対称になっていることにも気付かされます．

　　√１９＝［４；２，１，３，１，２，８，・・・］

　　√２９＝［５；２，１，１，２，１０，・・・］

　　√４３＝［６；１，１，３，１，５，１，３，１，１，１２，・・・］

　　√５４＝［７；２，１，６，１，２，１４，・・・］

　　√７６＝［８；１，２，１，１，５，４，５，１，１，２，１，１６，・・・］

　　√９４＝［９；１，２，３，１，１，５，１，８，１，５，１，１，３，２，１，１８，・・・］

　　√１０００＝［３１；１，１，１，１，１，６，２，２，１５，２，２，６，１，１，１，１，１，６２，・・・］

　循環部の最後の項を除いた部分は回文（前から読んでも後から読んでも同じ）になっているという事実も，１９９のみならず，２次の無理数√ｍに共通していえる性質です．

　　√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］

　なお，２次の無理数には循環連分数が対応しますが，連分数による実数の最良近似は解を下方と上方から近似していく方法であって，ユークリッドの互除法に直結しています．

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【４】周期１の整数

　以上のことから，最も素朴な循環連分数は

　　√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］

で表されるものと考えられます．

　このとき，

　　Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0

より，ｍは

　　（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１

を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは

　　ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・

となることが導き出されます．

　　√２＝［１；２，２，２，・・・］

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

　　√１０＝［３；６，６，６，・・・］

　　√１０１＝［１０；２０，２０，２０，・・・］

　しかし，他の整数の平方根はかなり長い周期を持つが，長周期を予言する公式はないようである．

　　√６１＝［７；１，４，３，１，２，２，１，３，４，１，１４，・・・，・・・］

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