（その１３）（その１４）では，半径√ｎの球に内接する立方体・正単体・正軸体の辺の長さと隣接する頂点間の球面距離を扱ったが，球面距離だけで済むものと思われる．

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【１】頂点間の球面距離

　外接球の半径が√ｎのｎ次元立方体のひとつの頂点からでる辺の長さと本数は

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝ｎ＝（ｎ，１）

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝（ｎ，２）

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝（ｎ，３）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｌn＝２√ｎ，Ｎn＝１＝（ｎ，ｎ）

　また，ｎ次元立方体の重心をＯとする．その頂点をＰ1，Ｐ2，・・・，Ｐ2^nとする．ＰiＯＰi+1＝θ（球面距離）とするとき，ｃｏｓθ＝（ｎ−２）／ｎである．

　Ｌ1〜Ｌnを球面距離に直すと

　　θk＝２ａｒｃｓｉｎ（√ｋ／ｎ）＝ａｒｃｃｏｓ（（ｎ−２ｋ）／ｎ）

　　ｃｏｓθk＝（ｎ−２ｋ）／ｎ

より，

　　θ1＝ａｒｃｃｏｓ（（ｎ−２）／ｎ），Ｎ1＝ｎ＝（ｎ，１）

　　θ2＝ａｒｃｃｏｓ（（ｎ−４）／ｎ），Ｎ2＝（ｎ，２）

　　θ3＝ａｒｃｃｏｓ（（ｎ−６）／ｎ），Ｎ3＝（ｎ，３）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　θn＝ａｒｃｃｏｓ（−１），Ｎn＝１＝（ｎ，ｎ）

　　ｃｏｓθ1＝（ｎ−２）／ｎ，Ｎ1＝ｎ＝（ｎ，１）

　　ｃｏｓθ2＝（ｎ−４）／ｎ，Ｎ2＝（ｎ，２）

　　ｃｏｓθ3＝（ｎ−６）／ｎ，Ｎ3＝（ｎ，３）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｃｏｓθn＝−１，Ｎn＝１＝（ｎ，ｎ）

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【２】正単体の場合

　ｎ次元正単体の重心をＯとする．その頂点をＰ1，Ｐ2，・・・，Ｐn+1とする．ＰiＯＰi+1＝θ（球面距離）とするとき，ｃｏｓθ＝−１／ｎである．

　　ｃｏｓθk＝（ｎ−２ｋ）／ｎ＝−１／ｎ

　　ｋ＝（ｎ＋１）／２

　このことから３次元立方体の頂点をひとつおきに結べば正４面体ができるが，ｎ＝３を除く奇数次元立方体の頂点をどのように結ぼうともその次元の同心正単体にはならないことがわかる．

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【３】正軸体の場合

　正軸体の重心をＯとする．その頂点をＰ1，Ｐ2，・・・，Ｐ2nとする．ＰiＯＰj＝θ（球面距離）とするとき，ｃｏｓθ＝０である．

　　ｃｏｓθk＝（ｎ−２ｋ）／ｎ＝０

　　ｋ＝ｎ／２

　このことから４次元超立方体の頂点をひとつおきに結べば正１６胞体ができるが，ｎ＝４を除く偶数次元立方体の頂点をどのように結ぼうともその次元の同心正軸体にはならないことがわかる．

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