（その１３）ではｎ≧５の場合を扱ったので，今回はｎ＝３，４の場合とする．

　３次元立方体の頂点をひとつおきに結べば，正４面体ができる．また，４次元超立方体の頂点をひとつおきに結べば，正１６胞体ができる．実は，超立方体の頂点をひとつおきにとると別の正多面体になるのは３次元・４次元の特殊性である（５次元以上の空間では正多面体ではなく，１種の準正多面体になる）．

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【１】ｎ＝３

　ｎ次元正単体の重心をＯとする．その頂点をＰ1，Ｐ2，・・・，Ｐn+1とする．ＰiＯＰi+1＝θ（球面距離）とするとき，ｃｏｓθ＝−１／ｎである．

　また，外接球の半径を√ｎとすると，ひとつの頂点からでる辺の長さと本数は

　　Ｌ1＝√２（ｎ＋１），Ｎ1＝ｎ

である．これがｎ次元立方体の対角線

　　Ｌk＝２√ｋ

と等しくなるのは，

　　ｋ＝（ｎ＋１）／２

であるから，頂点（１，１，・・・，１）からでる辺を考えると，座標が

　　ｎ−ｋ個の１，ｋ個の−１

からなる頂点と結ばれることになる．

　ｎ＝３のときは（１，−１，−１），（−１，１，−１），（−１，−１，１）の合計３頂点が得られる．

　この３個の頂点の球面距離はｃｏｓθ＝−１／ｎになる．このことから３次元立方体の頂点をひとつおきに結べば，正４面体ができることがわかる．

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【２】ｎ＝４

　正軸体の重心をＯとする．その頂点をＰ1，Ｐ2，・・・，Ｐ2nとする．ＰiＯＰj＝θ（球面距離）とするとき，ｃｏｓθ＝０である．

　また，外接級の半径を√ｎとすると，ひとつの頂点からでる辺と対角線の長さと本数は

　　Ｌ1＝√２ｎ，Ｎ1＝２（ｎ−１）

　　Ｌ2＝２√ｎ，Ｎ2＝１

である．これがｎ次元立方体の対角線

　　Ｌk＝２√ｋ

と等しくなるのは，

　　ｋ＝ｎ／２

であるから，頂点（１，１，・・・，１）からでる辺を考えると，座標が

　　ｎ−ｋ個の１，ｋ個の−１

からなる頂点と結ばれることになる．

　ｎ＝４のときは（１，１，−１，−１），（１，−１，１，−１），（１，−１，−１，１），（−１，１，１，−１），（−１，１，−１，１），（−１，−１，１，１）の合計６頂点が得られる．

　この６個の頂点の球面距離はｃｏｓθ＝０になる．このことから４次元超立方体の頂点をひとつおきに結べば，正１６胞体ができることがわかる．

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【３】雑感

　このに掲げたテーマは「格子点の問題」である．格子点についての問題は種々作ることができる．

（Ｑ）面積ｎの正方形ｎ（ｎは自然数）の４つの頂点がそれぞれ空間格子点Ｚ^3に載るようにしたい．どのようなｎについて可能であるか？

（Ａ）たとえば７は３つの平方の和には書けないことからわかるように，このようなことはいつでもできるとは限らない．ｎが奇数の平方因子を含まないならば，この問題は座標面以外の空間格子点に載せることはできない（座標面上だったらできることもあるしできないこともある）．

　ｎ＝１，２，３，４，５，６，７，８は奇の平方因子を含まないが，ｎ＝９＝３^2の場合，たとえばＡ（−１，２，２），Ｂ（２，−１，２）とすればよい．

　この問題の高次元化はすぐ考えられる．

（Ｑ）４次元空間に与えられた面積ｎの正方形をはめ込むことができるか？

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

（Ｑ）正方格子Ｚ^2の格子点３個を選んで正三角形を作ることは可能か？

　この問題は不定方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2＋ｗ^2＝（ｘ−ｚ）^2＋（ｙ−ｗ）^2

を解くことと同じである．

　一般に，どのようなｎに対して正ｎ角形が作れるかについては，正方格子の代わりに正三角形格子ではどうなるか？　立方格子では・・・？　ｍ次元格子では・・・？と発展展開させることができる．さて，答は・・・？

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