外接球の半径が√ｎのｎ次元立方体のひとつの頂点からでる辺の長さと本数は

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝ｎ＝（ｎ，１）

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝（ｎ，２）

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝（ｎ，３）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｌn＝２√ｎ，Ｎn＝１＝（ｎ，ｎ）

また，ｎ次元立方体の重心をＯとする．その頂点をＰ1，Ｐ2，・・・，Ｐ2^nとする．ＰiＯＰi+1＝θ（球面距離）とするとき，ｃｏｓθ＝（ｎ−２）／ｎである．

　（その７）での言明は，もしｎ（≧５）次元立方体に内接する同心の正単体が存在するならば奇数次元のときであり，正軸体が存在するならば偶数次元のときである，故に万有多胞体は存在しない・・・という証明であった．

　今回のコラムでは，もっと強い意味の言明「ｎ（≧５）次元立方体の頂点をどのように結ぼうとも，その次元の同心正単体・正軸体にはならない」の証明を考える．３次元，４次元の場合が例外的なのであるが，その証明は

［１］奇数次元立方体の頂点をどのように結ぼうとも，その次元の同心正単体にはならない．

［２］偶数次元立方体の頂点をどのように結ぼうとも，その次元の同心正軸体にはならない．

の２パートからなる．

［注］この証明には誤りがあり，（その１６）（その１９）で訂正した．

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【１】パート１

　ｎ次元正単体の重心をＯとする．その頂点をＰ1，Ｐ2，・・・，Ｐn+1とする．ＰiＯＰi+1＝θ（球面距離）とするとき，ｃｏｓθ＝−１／ｎである．

　また，外接球の半径を√ｎとすると，ひとつの頂点からでる辺の長さと本数は

　　Ｌ1＝√２（ｎ＋１），Ｎ1＝ｎ

である．これがｎ次元立方体の対角線

　　Ｌk＝２√ｋ

と等しくなるのは，

　　ｋ＝（ｎ＋１）／２

であるから，頂点（１，１，・・・，１）からでる辺を考えると，座標が

　　ｎ−ｋ個の１，ｋ個の−１

からなる頂点と結ばれることになる．

　たとえば，ｎ＝５のときは（１，１，−１，−１，−１），（１，−１，１，−１，−１），（１，−１，−１，１，−１），（１，−１，−１，−１，１），（−１，１，１，−１，−１），（−１，１，−１，１，−１），（−１，１，−１，−１，１），（−１，−１，１，１，−１），（−１，−１，１，−１，１），（−１，−１，−１，１，１）の合計１０頂点，ｎ＝７のときは（１，１，１，−１，−１，−１，−１）などの合計３５頂点，任意のｎのときは（ｎ，ｋ）頂点が得られる．

　しかしながら，（ｎ，ｋ）個の頂点の球面距離はｃｏｓθ＝−１／ｎにならない．たとえば（１，１，−１，−１，−１）の場合，ｃｏｓθ＝−１／ｎになるためには５個中３個の±符号を反転させなければならないが，これは前述のリストには含まれない．（１，１，１，−１，−１，−１，−１）の場合，７個中４個の±符号を反転させなければならないが，これも前述のリストには含まれない．任意のｎのときも同様であり，このことから奇数次元立方体の頂点をどのように結ぼうともその次元の同心正単体にはならない．

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【１】パート２

　正軸体の重心をＯとする．その頂点をＰ1，Ｐ2，・・・，Ｐ2nとする．ＰiＯＰj＝θ（球面距離）とするとき，ｃｏｓθ＝０である．

　また，外接級の半径を√ｎとすると，ひとつの頂点からでる辺と対角線の長さと本数は

　　Ｌ1＝√２ｎ，Ｎ1＝２（ｎ−１）

　　Ｌ2＝２√ｎ，Ｎ2＝１

である．これがｎ次元立方体の対角線

　　Ｌk＝２√ｋ

と等しくなるのは，

　　ｋ＝ｎ／２

であるから，頂点（１，１，・・・，１）からでる辺を考えると，座標が

　　ｎ−ｋ個の１，ｋ個の−１

からなる頂点と結ばれることになる．

　たとえば，ｎ＝６のときは（１，１，１，−１，−１，−１），（１，１，−１，１，−１，−１），（１，１，−１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１，−１，１），（１，−１，１，１，−１，−１），（１，−１，１，−１，１，−１），（１，−１，１，−１，−１，１），（１，−１，−１，１，１，−１），（１，−１，−１，１，−１，１），（１，−１，−１，−１，１，１），（−１，１，１，１，−１，−１），（−１，１，１，−１，１，−１），（−１，１，１，−１，−１，１），（−１，１，−１，１，１，−１）， （−１，１，−１，１，−１，１），（−１，１，−１，−１，１，１），（−１，−１，１，１，１，−１），（−１，−１，１，１，−１，１），（−１，−１，１，−１，１，１），（−１，−１，−１，１，１，１）の合計２０頂点，ｎ＝８のときは（１，１，１，１，−１，−１，−１，−１）などの合計７０頂点，任意のｎのときは（ｎ，ｋ）頂点が得られる．

　しかしながら，（ｎ，ｋ）個の頂点の球面距離はｃｏｓθ＝０にならない．たとえば（１，１，１，−１，−１，−１）の場合，ｃｏｓθ＝０になるためには６個中３個の±符号を反転させなければならないが，これは前述のリストには含まれない．（１，１，１，１，−１，−１，−１，−１）の場合，８個中４個の±符号を反転させなければならないが，これも前述のリストには含まれない．任意のｎのときも同様であり，このことから偶数次元立方体の頂点をどのように結ぼうともその次元の同心正軸体にはならない．

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