３次元立方体の頂点をひとつおきに結べば，正４面体ができる．また，４次元超立方体の頂点をひとつおきに結べば，正１６胞体ができる．

　実は，超立方体の頂点をひとつおきにとると別の正多面体になるのは３次元・４次元の特殊性である（５次元以上の空間では正多面体ではなく，１種の準正多面体になる）．

　それでは，ｎ（≧５）次元超立方体から適当に頂点を選べば実際に正単体，正軸体を構成することはできるのだろうか？　今回のコラムでは十分条件は後回しとして，まず，必要条件を確認してみることにしよう．

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【１】正単体の場合

　正ｎ＋１胞体の対角線の長さが正２ｎ胞体の対角線のいずれかに等しくなるのは２（ｎ＋１）＝４ｋのとき，すなわち，ｎが奇数次元のときである．

　　ｋ＝（ｎ＋１）／２

　このとき

　　Ｎk＝nＣk≧ｎ＝nＣ1

であることが必要であるが，この必要条件は満たされる．

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【２】正軸体の場合

　正２^n胞体の対角線の長さが正２ｎ胞体の対角線のいずれかに等しくなるのは２ｎ＝４ｋのとき，すなわち，ｎが偶数次元のときである．

　　ｋ＝ｎ／２

　このとき

　　Ｎk＝nＣk≧２（ｎ−１）

であることが必要であるが，ウォリスの公式：

　　√π〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！√ｎ

　　√ｎπ〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！

より，ｎが大きいとき

　　（２ｋ）！／（ｋ！）^2〜２^2k／√ｋπ≧２（２ｋ−１）

より，この必要条件も満たされる．

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