（その５）において，正α胞体に正β胞体が含まれる場合，両者の包含関係は頂点数の整除性によって決定されるとしたのは私の早とちりであった．たとえば，正１２面体（頂点数２０）の中に立方体（頂点数８）を内接させることはできるが，２０は８で割り切れない．そこで，対角線の長さを求めてみることにした．

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【１】正ｎ＋１胞体

　ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．頂点数はｎ＋１個あり，各頂点からはｎ本の稜がでて，すべての頂点を結ぶと単体ができあがる．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２

すなわち，

　　ｎｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　ｎ＋１個の頂点：

　　Ｖ1（１，０，・・・，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｖn（０，０，・・・，１）

　　Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

の中心座標（体心）は

　　（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

である．

　　ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１）＝−１／√（１＋ｎ）

より，外接球の半径は（ｎ／（１＋ｎ））^1/2

　対角線の長さと本数は

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｖ＝ｎ＋１，Ｋ＝（１＋１／ｎ）

　　Ｋ＝１／ｒ^2

　　ＳＳ＝Ｋ・Ｖ／２×ΣＮjＬj^2

を計算すると

　　ＳＳ＝（ｎ＋１）^2＝Ｖ^2

　外接級の半径を√ｎとすると

　　Ｌ1＝√２（ｎ＋１），Ｎ1＝ｎ

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【２】正２ｎ胞体

　（±１，±１，±１，±１，・・・）を頂点とする１辺の長さ２，外接球の半径√ｎの正２ｎ胞体を考える．頂点数は２^n個あり，各頂点からはｎ本の稜がでる．

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝ｎ（ｎ−１）／２

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｌn＝２√ｎ，Ｎn＝１

　　Ｖ＝２^n，Ｋ＝１／ｎ

　　ＳＳ＝（２^n）^2＝Ｖ^2

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【３】正２^n胞体

　　（±１，０，・・・，０）

　　（０，±１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，±１）

を頂点とする１辺の長さ√２，外接球の半径１の正２^n胞体を考える．頂点数は２ｎ個あり，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜がでる．

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝２（ｎ−１）

　　Ｌ2＝２，Ｎ2＝１

　　Ｖ＝２ｎ，Ｋ＝１

　　ＳＳ＝（２ｎ）^2＝Ｖ^2

　外接級の半径を√ｎとすると

　　Ｌ1＝√２ｎ，Ｎ1＝２（ｎ−１）

　　Ｌ2＝２√ｎ，Ｎ2＝１

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【４】証明

　外接級の半径を√ｎとした場合，正２ｎ胞体の対角線の長さは√４ｋで与えられる（ｋ＝１〜ｎ）．正２^n胞体の対角線の長さがこのいずれかに等しくなるのは２ｎ＝４ｋのとき，すなわち，偶数次元のときである．

　一方，正ｎ＋１胞体の対角線の長さが正２ｎ胞体の対角線のいずれかに等しくなるのは２（ｎ＋１）＝４ｋのとき，すなわち，奇数次元のときである．

　故に，正２ｎ胞体は万有多胞体ではなく，万有多胞体は存在しない．これもほぼone sentence proofといってよいであろう．

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