【１】平面代数曲線
一直線上にない３点を通る２次曲線，４点を通る３次曲線はただひとつ存在しますが，それは座標軸の方向が定まっている場合：
ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ，ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
のようにｙ＝ｆ（ｘ）の場合であって，一般には，平面上の任意の位置にある５点が唯一の円錐曲線を決定します．ニュートンは「プリンキピア」のなかで５点を通る円錐曲線の作図法などを案出しながら壮大な天体力学を展開しています．
ｎ次平面代数曲線の方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は，（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の係数をもっていますが，ｆに定数を掛けても曲線は変わりませんから，ｎ次曲線はｎ（ｎ＋３）／２個のパラメータに依っていることになります．そこで，平面内に与えられたｎ（ｎ＋３）／２個の点（ｘi，ｙi）を通るという条件によって曲線を決定するという問題が自然に提起されます．ニュートンはこうした研究を応用して，２次曲線上の５点，３次曲線上の７点が与えられた場合にこれを作図する方法を見いだしたのです．
まとめると，２個の点を通る直線はひとつ，５個の点を通る２次曲線はひとつ，９個の点を通る３次曲線はひとつ，１４個の点を通る４次曲線はひとつ，・・・，（ｎ＋２，ｎ）−１＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２−１＝ｎ（ｎ＋３）／２個の点を通るｎ次曲線はひとつあります．
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【２】代数曲面
４次曲線（項数１５）とか５次（項数２１）以上の高次曲線も考えることができるが，１９００年当時まで，５次曲線までと３次曲面までのトポロジカルな分類は既に知られていたようである．
２次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０は楕円面，一葉双曲面，二葉双曲面，楕円放物面，双曲放物面のどれかに分類される．
１８４９年，ケーリーは滑らかな３次曲面はすべてある一定数の直線を含むこと，サーモンはその数は２７であることを証明した．すなわち，３次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０には無数に多くの直線がのっているか（その場合には線織面と呼ばれる），そうでなければ，高々２７本の直線しか含まないことが証明されている（サーモン，１８８４年）．
１次曲面（平面）は∞^2個，２次曲面は∞^1個の直線を含み，一般の３次曲面では（少なくとも１本の直線を含むが）その数は高々有限個（２７本）である．それに対して，一般のｎ次曲面（ｎ＞３）は直線を全然含んでいないというわけである．
シュレーフリは３次曲面上の２７本の直線の組に従って，滑らかな実３次曲面を５組に分類した．この５組にはそれぞれ２７，１５，７，３，３本の実直線，そして３直線を含む実平面が４５，１５，５，７，１３入っている．
アルキメデスの墓石に円柱・円錐・球，ガウスの墓石に正１７角形が彫られた如く，ケーリーとサーモンの墓石には２７本の直線を彫るべきだとシルベスターがいったことは１９世紀にこれらの３次曲面がいかに重要視されたかを物語るものだろう．
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【３】補間問題
ある次数をもつ代数曲線が，平面においていくつの与えられた点を通るかどうかが補間問題である．ただしそれらの点において曲線の挙動（方向など）が指示されている．ここでは，ラグランジュ補間（ｎ個の標本点において与えられた値をとるｎ−１次の多項式）・エルミート補間（標本点における微分係数まで一致する２ｎ−１次の多項式）に加え，スプライン補間を考察する．
［１］スプライン関数は，多項式を連続条件を満たすように接続した区
分多項式であり，３次スプライン関数はその多項式に２次導関数まで連続となるような３次式を用いたものです．区間ごとにつぎの係数を算定し，有限区間を補間します．
スプライン曲線 ：ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
１次導関数（曲線の傾き）：ｙ’＝３ａｘ）2＋２ｂｘ＋ｃ
２次導関数（曲率） ：ｙ”＝６ａｘ＋２ｂ
３次スプライン補間では２次導関数は折れ線（１次のスプライン関数）ですので，これを２回積分して係数を決定します．曲線の始点と終点ではその外側に接続されるべきセグメントがないので，自然スプライン曲線では境界条件としては両端点における２次微係数を０としたにより任意の点における曲線形状を定めています．
［２］ラグランジュ補間（ｎ個の標本点において与えられた値をとるｎ−１次の多項式）・エルミート補間（標本点における微分係数まで一致する２ｎ−１次の多項式）は計算量は少ないのですが，高次式であるため振動しやすい欠点を有しています．それに対して，３次スプライン補間は３次式で補間するため多項式補間よりも振動しにくく，変曲点も表現できる優れた性質をもつ補間法ですので，実験データの処理に有効です．
［３］３次のスプライン関数は歪エネルギーを最小にする曲線であり自在定規によって描かれた曲線は３次のスプライン関数に近似的に等しいこと，および，近似精度と計算量の兼ね合い（１次・２次では近似精度が不十分，３次を越えれば計算量がかなり増加する）からもっとも多く利用されています．
［４］パラメトリックスプライン
ｘ−ｙ平面にある補間曲線がｙ＝ｆ（ｘ）と表される場合すなわち一価関数について説明しましたが，この方法は，ｘのある値に対しｙの値を複数もつような多価関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０の表現はできません．多価関数となるようなデータに対しても扱えるようにするには独立変数ｘ，ｙを用いる代わりにパラメータ表示［ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ）］の一意に定まるパラメータｔを導入して補間曲線上の座標（ｘ，ｙ）に替わる新しい点列（ｔ，ｘ），（ｔ，ｙ）の各区間におけるの補間値を求めるようにします．
このスプライン関数をパラメトリックスプラインと呼びます．一価関数とならない一般的な平面データに対しても利用可能です．なお，端点における境界条件を自然条件にすると始点と終点を重ねたときその点が尖点となってしまいます．そこで滑らかな閉曲線を求める場合には始点と終点で接線の方向が一致する周期条件を用いる必要があります．周期スプラインでは始点と終点が急な角度で結ばれることはありません．
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