パラメータ表示された外サイクロイドと内サイクロイドの代数曲線表示については以前に取り上げたことがある．たとえば，アステロイドの場合，

　　（ｘ^2＋ｙ^2−１）^3＋２７ｘ^2ｙ^2＝０

　バラ曲線についても代数曲線表示は可能で，

　　３つ葉のバラ：（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋３ｘｰ2ｙ−ｙ^3＝０

　　４つ葉のバラ：（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４ｘ^2ｙ^2＝０

一般に，グランディのバラ曲線：ｒ＝ａｃｏｓｎθはｎ＝１のとき円，ｎ＝２のとき（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2＝２ａ^2（ｘ^2−ｙ^2）で４葉形，一般に花びらの数ｍはｎが奇数のときｍ＝ｎ，ｎが偶数のときｍ＝２ｎとなる．

　また，レムニスケートの代数曲線表示は

　　（ｘ^2＋ｙ^2)^2＝α（ｘ^2−ｙ2）

　　ｘ^2（１−ｘ^2）−ｙ2＝０

などとなる．今回のコラムではこれらと関連する記事を取り上げたい．

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【１】レムニスケートのパラメータ表示

　原点を中心とする半径１の円の円周上の点を（ｘ，ｙ）とすれば，第３の変数θを媒介として，ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθと表されます．θは（ｘ，ｙ）と（０，０），θ／２は（ｘ，ｙ）と（−１，０）を結ぶ直線とｘ軸とのなす角を表しています．

　さらにｔ＝ｔａｎ（θ／２）とすると

　　ｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ），

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）より，

　　ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）　　　（−１≦ｔ≦１）

と表すことができます．

　また，ａ＝１／√２のとき，レムニスケート：ｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 は，

　　ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

　　ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

ここで，

ｓｉｎθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

ｃｏｓθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

とおくと，

　　ｘ＝ｔ（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）

　　ｙ＝ｔ（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）

のようにパラメトライズすることができます．

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【２】特異点

　代数曲線表示は特異点と関係している．次数ｄの既約曲線は高々（ｄ−１，２）個の特異点をもつ．たとえば，既約な３次曲線は重複度２の特異点を高々ひとつもつ．その特異点において，３次曲線は２つの異なる接線をもつか

　　例：デカルトの葉線：ｘ^3＋ｘ^2−ｙ^2＝０

または二重の接線をひとつもつことができる．

　　例：ニールの放物線：ｘ^3−ｙ^2＝０

　既約な４次曲線は重複度２の特異点を３個まで，または重複度３の特異点をひとつもつことができる．

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【３】円と双葉のあいだには？

　円の４分の１周の長さを求めるのに，y=(1-x^2)^(1/2)に対し，

　　∫(0,1)(1+(dy/dx)^2)^(1/2)dx

を計算すると，これは

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx

となります．そこで

　　f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)

　　2∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π

となり，これをπの定義とし，完全円積分と呼ぶことにします．

　　F(z)=∫(0,z)f(x)dx

は不完全円積分ですが，これから

　　sinω=F^(-1)(ω),cosω=F^(-1)(π/2-ω)

と定義すると，逆正弦関数

　　sin^(-1)z=∫(0,z)f(x)dx

が得られます．

　ところで，

　　∫1/(1-x^2)^(1/2)dx

は円，

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

はレムニスケートに対応していましたが，周長が

　　∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

　　∫1/(1-r^3)^(1/2)dx

で表される曲線はどのようなものになるでしょうか？

　この円と双葉の中間に位置する幾何学的対象物は，微分方程式

　　(1+(dy/dx)^2)^(1/2)=1/(1-x^3)^(1/2)

　　dy/dx=(x^3/(1-x^3))^(1/2)

あるいは

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^3)^(1/2)

　　dθ/dr=(r/(1-r^3))^(1/2)

を満たさなければなりません．

　直交座標より極座標を考える方が自然と思えるので，極座標の方で示しますが，r^3=tとおいて微分方程式を解くと，不完全ベータ関数

　　θ=1/3∫t^(-1/2)(1-t)^(1/2)dt

が得られます．しかし，これでは正体がつかめません．そこで，試行錯誤的に求めてみることにしました．

　まず，候補にあげられたのが

　　ｒ＝ｃｏｓ（ａθ）　　（正葉曲線，バラ曲線）

です．この曲線では，ａ＝１のとき，

　　1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^2)

となります．

　これまでの結果から，

　　ｒ＝ｃｏｓθのとき，1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^2)

　　ｒ^2＝ｃｏｓ２θのとき，1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^4)

がわかったわけですから，求める曲線は

　　ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３／２θ）

に違いありません．計算してみると，確かに

　　1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^3)

が得られました．

　大ざっぱにプロットしてみたところでは，三つ葉型曲線の半分になるのですが，ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３θ／２）がどのような曲線になるのか，各自が実際に描いてみることをお勧めします．また，この曲線が直交座標でどのように書けるか，直してみるのも面白いかもしれません．

　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

　　ｃｏｓ^2（３θ／２）＝（１＋ｃｏｓ３θ）／２＝（４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＋１）／２

ですから

　　２ｒ^3−１＝４ｘ^3／ｒ^3−３ｘ／ｒ

　　２ｒ^6−ｒ^3＝４ｘ^3−３ｘｒ^2

　　（２ｒ^6−４ｘ^3＋３ｘｒ^2）^2＝ｒ^6

　　（２（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４ｘ^3＋３ｘ（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3　→　１２次曲線

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【４】雑感

　超レムニスケート積分

　　∫1/(1-x^n)^(1/2)dx

の幾何学的対象物がグランディのバラ曲線：ｒ＝ａｃｏｓｎθの類似であることを思いついたのが２００２年ですから，それからずいぶん年月が経ったことになります．

　当初は

　　ｒ＝１（円）

　　ｒ^2＝ｃｏｓ２θ（レムニスケート）

を補間することを考えていたのですが，うまくいかず

　　ｒ＝ｃｏｓθ（円）

　　ｒ^2＝ｃｏｓ２θ（レムニスケート）

を補間して

　　ｒ^n/2＝ｃｏｓ（ｎθ／２）

としたのが成功のもとでした．

　　ｒ^n/2＝ｃｏｓ（ｎθ／２）

　　ｒ^n＝（１＋ｃｏｓｎθ）／２

　　２ｒ^n−１＝ｃｏｓｎθ＝（ｘ／ｒのｎ次多項式）

ですから，この曲線は代数曲線になることがわかります．次数はｎが偶数のときｎ次式ですが，奇数のとき４ｎ次式になります．

［１］ｎ＝１

　　２ｒ−１＝ｃｏｓθ＝ｘ／ｒ

　　２ｒ^2−ｒ＝ｘ

　　（２ｒ^2−ｘ）^2＝ｒ^2

　　（２（ｘ^2＋ｙ^2）−ｘ）^2＝ｘ^2＋ｙ^2　→　４次式

［２］ｎ＝２

　　ｒ＝ｃｏｓθ＝ｘ／ｒ

　　ｒ^2＝ｘ

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｘ

　　（ｘ−１／２）^2＋ｙ^2＝１／４　→　２次式（円）

［３］ｎ＝３　→　１２次式

［４］ｎ＝４　→　４次式

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