詐欺ジョンソン・ザルガラー多面体の計量をきっかけに，ゴールドバーグの１４面体について再考してみることにしました．（その１）で行った数値計算には約１°の狂いがあったからです．

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【１】ゴールドバーグの１４面体の計量（再考）

　５^12６^2型のねじれ重角錐台は一意には決まりません．単位球に外接し，さらに球の中心と各面の重心を結ぶ直線がその面と直交するという条件をつけてみましょう．

　ねじれ重角錐（ｎ^2５^2n）の五角形の頂点をＡ，辺ＣＤが正ｎ角形と組み合わさる辺とします．そして，空間座標を

　　Ａ（０，ｙ3，ｚ3）

　　Ｂ（−ｘ2，ｙ2，ｚ2）

　　Ｃ（−ｘ1，ｙ1，１）

　　Ｄ（ｘ1，ｙ1，１）

　　Ｅ（ｘ2，ｙ2，ｚ2）

また，放射線の中心を

　　Ｆ（０，０，ｚ0）にとります（ｚ3＝−ｚ2）．

５角形面の重心は

　　Ｇ（０，Ｙ，Ｚ）

　　Ｙ＝（２ｙ1＋２ｙ2＋ｙ3）／５，Ｚ＝（２ｚ1＋２ｚ2＋ｚ3）／５

で与えられます．

　ここで∠ＯＦＡ＝θとすると

　　ｙ1／（ｚ0−１）＝ｙ2／（ｚ0−ｚ2）＝ｙ3／（ｚ0−ｚ3）

　＝Ｙ／（ｚ0−Ｚ）＝Ｚ／Ｙ＝（ｙ2＋ｙ3）／２ｚ0＝ｔａｎθ

　　ｚ0＝１／ｓｉｎθ，Ｙ＝ｃｏｓθ，Ｚ＝ｓｉｎθ

また，

　　ｘ1／ｙ1＝ｘ2／ｙ2＝ｔａｎ（π／ｎ）

　　ｘ2／（ｙ2＋ｙ3）＝ｔａｎ（π／２ｎ）

　さらに

　　ｙ1^2＝（Ｙ−ｙ1）^2＋（Ｚ−１）^2

より，

　　ｙ1＝（１−ｓｉｎθ）／ｃｏｓθ

　　ｙ2＋ｙ3＝２ｚ0ｔａｎθ＝２／ｃｏｓθ

　　ｘ2＝（ｙ2＋ｙ3）ｔａｎ（π／２ｎ）＝２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθ

　　ｙ2＝ｘ2／ｔａｎ（π／ｎ）＝２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθｔａｎ（π／ｎ）

　　ｙ3＝２ｚ0ｔａｎθ−ｙ2

　　Ｙ＝（２ｙ1＋２ｙ2＋ｙ3）／５

　　　＝（２ｙ1＋ｙ2＋２ｚ0ｔａｎθ）／５＝ｃｏｓθ

に代入すると

　　２（１−ｓｉｎθ）／ｃｏｓθ＋２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθｔａｎ（π／ｎ）＋２／ｃｏｓθ＝５ｃｏｓθ

に帰着されます．これはｃｏｓθに関する４次方程式になり，数値解は

　　ｎ＝４のとき，θ＝２８．２０°

　　ｎ＝５のとき，θ＝２６．５６°

　　ｎ＝６のとき，θ＝２５．６６°

で与えられます．

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【２】原因は何処に？

　　M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)

の数値解とは約１°の差がありますが，その原因はここでは二面角の補角∠ＯＦＡ＝θも求めているのに対し，論文では稜面角の補角∠ＯＦＣ＝φを求めているのではないかと思い当たりました．

　　ｔａｎθ＝ｙ1／（ｚ0−１）

　　ｔａｎφ＝ｙ1／（ｚ0−１）ｃｏｓ（π／ｎ）＝ｔａｎθ／ｃｏｓ（π／ｎ）

　ところが，ｎ＝６のとき，θ＝２５．６６°→φ＝２９．５６°となって，どうやら原因は別の所にありそうです．

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